자연계열 3번

(3-1) 함수 $\displaystyle g(x)$를 다시 쓰면$\displaystyle g(x)=x\int_{-1}^xf(y)dy-\int_{-1}^xyf(y)dy+t\left(\int_x^1yf(y)dy-x\int_x^1f(y)dy\right)$이다. 따라서 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle (-1,1)$에서 미분가능하며$\displaystyle \begin{aligned}g'(x)&=\int_{-1}^xf(y)dy+xf(x)-xf(x)+t\left(-xf(x)-\int_x^1f(y)dy+xf(x)\right)\\&=\int_{-1}^xf(y)dy-t\int_x^1f(y)dy\\&=\int_{-1}^xf(y)dy-t\left(\int_{-1}^1f(y)dy-\int_{-1}^xf(y)dy\right)\\&=(1+t)\left(\int_{-1}^xf(y)dy-\frac t{1+t}\int_{-1}^1f(y)dy\right)\end{aligned}$

이다. $\displaystyle F(x)=\int_{-1}^xf(y)dy$라고 정의하면, $\displaystyle F(-1)=0$, $\displaystyle F(1)=\int_{-1}^1f(y)dy=f(0)$이고 $\displaystyle F(x)$는 증가함수이므로 $\displaystyle g'(x)=(1+t)(F(x)-\frac t{1+t}f(0))$도 증가함수이다. 또한 $\displaystyle t>0$이므로 $\displaystyle 0<\frac t{1+t}f(0)<f(0)$이다. 그러므로 $\displaystyle F(a)=\frac t{1+t}f(0)$을 만족시키는 $\displaystyle a\in(-1,1)$가 유일하게 존재하며 $\displaystyle x<a$이면 $\displaystyle g'(x)<0$이고 $\displaystyle x>a$이면 $\displaystyle g'(x)>0$이다. 따라서 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 최솟값을 가지며 $\displaystyle g'(a)=0$이다.

즉 $\displaystyle F(h(t))=\int_{-1}^{h(t)}f(x)dx=\frac t{1+t}f(0)$이 성립하므로, $\displaystyle \frac1{f(0)}\int_{-1}^{h(t)}f(x)dx=\frac t{1+t}$이다.

(3-2) (3-1)에서 $\displaystyle \frac1{f(0)}\int_{-1}^{h(t)}f(x)dx=\frac t{1+t}$가 성립한다. 이 식의 양변을 $\displaystyle t$에 대하여 미분하면$\displaystyle \frac1{f(0)}h'(t)f(h(t))=\frac1{(1+t)^2}$

이다. 이 식에 $\displaystyle t=1$을 대입하고 $\displaystyle h(1)=0$임을 이용하면 $\displaystyle h'(1)=\frac14$이다.

(3-3) $\displaystyle x\in[-1,1]$에서 정의되는 함수 $\displaystyle p(x)$를 $\displaystyle p(x)=\frac1{f(0)}\int_{-1}^xf(y)dy$로 정의하면$\displaystyle p(x)=\begin{cases}\frac{(1+x)^2}2&(-1\le x\le0)\\1-\frac{(1-x)^2}2&(0<x\le1)\end{cases}$이다. 따라서 $\displaystyle p(x)$는 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 역함수가 존재하며 그 역함수를 $\displaystyle p^{-1}(x)$라고 할 때$\displaystyle h(t)=p^{-1}(\frac t{1+t})$이다. 한편

$\displaystyle p^{-1}(x)=\begin{cases}-1+\sqrt{2x}&(0\le x\le\frac12)\\1-\sqrt{2(1-x)}&(\frac12<x\le1)\end{cases}$

이다. 따라서$\displaystyle h(t)=\begin{cases}-1+\sqrt{\frac{2t}{1+t}}&(0<t\le1)\\1-\sqrt{\frac2{1+t}}&(t>1)\end{cases}$이다.