자연계열 1번

(1-1) $\displaystyle f(x)-x-1=k(x+1)^2(x-2)^2$

으로부터 $\displaystyle f'(x)=1+2k\{(x+1)(x-2)(2x-1)\}$

이고 따라서 $\displaystyle f'(\frac12)=1$이다.

(1-2) $\displaystyle f(0)=1+4k<0$에서 $\displaystyle k<0$이다.

$\displaystyle f''(x)=6k(2x^2-2x-1)$

이므로 함수 $\displaystyle f(x)$가 아래로 볼록한 구간은 부등식 $\displaystyle 2x^2-2x-1<0$을 풀면 얻을 수 있다. 이 부등식을 풀면 $\displaystyle \frac{1-\sqrt3}2<x<\frac{1+\sqrt3}2$이다.

(1-3) $\displaystyle f(x)=(x+1)\{1+k(x+1)(x-2)^2\}$이고 $\displaystyle g(x)=1+k(x+1)(x-2)^2$이라 두면 $\displaystyle g(-1)=g(2)=1,\ g(0)=g(3)=1+4k<0$

이므로 사잇값 정리로부터 $\displaystyle g(x)=0$의 세 근을 $\displaystyle \alpha,\beta,\gamma$라 하면,$\displaystyle -1<\alpha<0,\ 0<\beta<2,\ 2<\gamma<3$임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle f(x)=0$의 네 근 $\displaystyle -1,\alpha,\beta,\gamma$가 모두 3보다 작다.