자연계열 3번

(3-1) $\displaystyle g(4x)=g(g(g(x)))=4g(x)$

이므로 $\displaystyle g(0)=4g(0)$이다. 따라서 $\displaystyle g(0)=0$이다.

(3-2) $\displaystyle g(g(x))=4x$의 양변을 미분하면 $\displaystyle g'(g(x))g'(x)=4$이다.

따라서 $\displaystyle g'(g(0))g'(0)=4$에서 $\displaystyle g'(0)g'(0)=4$이다.한편 $\displaystyle g'(x)=f(x)$이므로 $\displaystyle \{f(0)\}^2=4$이고, $\displaystyle f(0)>0$에서 $\displaystyle f(0)=2$이다.

(3-3) $\displaystyle g(4x)=4g(x)$의 양변을 미분하면 $\displaystyle g'(4x)=g'(x)$이므로 $\displaystyle f(4x)=f(x)$이다.

또한 $\displaystyle f(x)=f(\frac14x)$에서 $\displaystyle f(x)=f(\frac1{4^n}x)$이다.따라서 $\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}f(\frac1{4^n}x)$

인데, 함수 $\displaystyle f(x)$는 연속함수이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}f(\frac1{4^n}x)=f(0)=2$이다.

$\displaystyle g(x)=\int_a^x2dt=2(x-a)$이고 $\displaystyle g(0)=0$이므로 $\displaystyle a=0$이다.