자연계열 2번

(2-1) 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수의 개형을 생각하면, 조건 (가)에서 방정식 $\displaystyle g(t)=t$를 만족시키는 실수 $\displaystyle t$의 최솟값은 점 $\displaystyle (t,f(t))$가 $\displaystyle f(x)$의 변곡점일 때이다. 즉, $\displaystyle f(x)$의 변곡점이 $\displaystyle (2,f(2))$이므로 $\displaystyle f(x)=x^3+ax^2+bx+c$라 할 때 $\displaystyle f'(x)=3x^2+2ax+b$, $\displaystyle f''(x)=6x+2a$, $\displaystyle f''(2)=12+2a=0$에서 $\displaystyle a=-6$을 얻는다. 이 때 $\displaystyle f''(x)=6x-12$이고 $\displaystyle x=2$를 경계로 이계도함수의 부호가 바뀌므로 $\displaystyle (2,f(2))$는 $\displaystyle f(x)$의 변곡점이다.

따라서 $\displaystyle f''(1)=6-12=-6$이다.

(2-2) $\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+bx+c$, $\displaystyle f'(x)=3x^2-12x+b$이므로, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (t,f(t))$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle y=(3t^2-12t+b)(x-t)+t^3-6t^2+bt+c$이 직선과 곡선 $\displaystyle y=f(x)$가 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표는 다음 방정식을 풀면 나온다.$\displaystyle (3t^2-12t+b)(x-t)+t^3-6t^2+bt+c=x^3-6x^2+bx+c$이를 간단히 하면 다음과 같다.$\displaystyle x^3-6x^2-(3t^2-12t)x+2t^3-6t^2=0\qquad\cdots\cdots\cdots\ (1)$그러므로 이 방정식의 근 $\displaystyle x$ 중에서 가장 큰 것이 $\displaystyle g(t)$이다. 그런데 $\displaystyle x=t$에서의 접선이 곡선 $\displaystyle y=f(x)$에 접하므로 방정식 (1)은 $\displaystyle x=t$에서 중근을 갖는다. 즉, 식 (1)의 좌변은 $\displaystyle (x-t)^2$을 인수로 갖는다. 그러므로 조립제법을 사용하여 인수분해하여 식 (1)을 다시 쓰면 다음과 같다.$\displaystyle (x-t)^2(x+2t-6)=0$

따라서 $\displaystyle t<2$일 때 $\displaystyle g(t)=6-2t$이다.

(2-3) $\displaystyle g(t)=\begin{cases}6-2t&(t\le2)\\t&(t\ge2)\end{cases}$이므로 $\displaystyle g(t)$는 연속함수이고 $\displaystyle t=2$일 때만 미분불가능하다. 그러므로 조건 (나)를 만족시키려면, 즉 함수 $\displaystyle h(t)=f(g(t))$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 $\displaystyle h(t)$가 $\displaystyle t=2$일 때 미분가능하면 된다. 함수 $\displaystyle h(t)$의 $\displaystyle t=2$에서의 좌미분계수는$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{t\to2^-}\frac{h(t)-h(2)}{t-2}&=\lim_{t\to2^-}\frac{f(6-2t)-f(2)}{t-2}\\&=\lim_{t\to2^-}\frac{f(6-2t)-f(2)}{(6-2t)-2}\times\frac{(6-2t)-2}{t-2}\\&=\lim_{s\to2^+}\frac{f(s)-f(2)}{s-2}\times(-2)\quad(\Leftarrow s=6-2t)\\&=-2f'(2)\\&=24-2b\end{aligned}$이고, 우미분계수는$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{t\to2^+}\frac{h(t)-h(2)}{t-2}&=\lim_{t\to2^+}\frac{f(t)-f(2)}{t-2}\\&=f'(2)\\&=b-12\end{aligned}$이므로 좌미분계수와 우미분계수가 같아지려면$\displaystyle 24-2b=b-12$에서 $\displaystyle b=12$이다. 그러므로 $\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+12x+c$이다.

또한 이 때 $\displaystyle h'(2)=0$이 된다. 따라서 $\displaystyle h'(t)$는 다음과 같다.$\displaystyle h'(t)=\begin{cases}-2f'(6-2t)&(t<2)\\0&(t=2)\\f'(t)&(t>2)\end{cases}$

그러므로 $\displaystyle t\ne2$일 때 $\displaystyle h'(t)$가 연속인 것은 자명하고,$\displaystyle \lim_{t\to2^-}h'(t)=-2f'(2)=0=h'(2),$$\displaystyle \lim_{t\to2^+}h'(t)=f'(2)=0=h'(2)$이므로 $\displaystyle \lim_{t\to2}h'(t)=h'(2)$가 되어 $\displaystyle h'(t)$는 $\displaystyle t=2$에서도 연속이다. 따라서 $\displaystyle h'(t)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

이제 $\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+12x+c$이고 $\displaystyle t\le2$일 때 $\displaystyle g(t)=6-2t$임을 이용하면 다음을 얻는다.$\displaystyle \int_1^2h'(x)dx=h(2)-h(1)=f(g(2))-f(g(1))=f(2)-f(4)=-8$