자연계열 1번

[1.1] 삼각형 ABC는 한 모서리의 길이가 $\displaystyle 6$이므로 좌표공간에서 세 점 A, B, C의 좌표는 각각 $\displaystyle (-3,-\sqrt3,0)$, $\displaystyle (3,-\sqrt3,0)$, $\displaystyle (0,2\sqrt3,0)$이다. 사면체의 높이를 $\displaystyle h$라고 가정하면 꼭지점 D의 좌표는 $\displaystyle (0,0,h)$이다.점 P는 AD의 중점이고 점 Q는 선분 CD의 중점이므로 두 점 P, Q의 좌표는 $\displaystyle \left(-\frac32,-\frac{\sqrt3}2,\frac h2\right)$, $\displaystyle \left(0,\sqrt3,\frac h2\right)$이다.$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}$가 수직이므로$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\left(-\frac32,-\frac{\sqrt3}2,\frac h2\right)\cdot\left(0,\sqrt3,\frac h2\right)=0-\frac32+\frac{h^2}4=0$이다. 따라서 $\displaystyle h=\sqrt6$이다.

[1.2] 삼각형 ABC는 한 모서리의 길이가 $\displaystyle 6$이므로 좌표공간에서 세 점 A, B, C의 좌표는 각각 $\displaystyle (-3,-\sqrt3,0)$, $\displaystyle (3,-\sqrt3,0)$, $\displaystyle (0,2\sqrt3,0)$이다. 사면체의 높이가 $\displaystyle 6$이므로 꼭지점 D의 좌표는 $\displaystyle (0,0,6)$이다. 이때 선분 BC와 $\displaystyle x$축이 만나는 점을 S라 하면 이 점의 좌표는 $\displaystyle (2,0,0)$이다.따라서 삼각형 BCD를 지나는 평면의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle \frac x2+\frac y{2\sqrt3}+\frac z6=1\Rightarrow\frac12x+\frac{\sqrt3}6y+\frac16z-1=0$이 평면과 원점과의 거리를 구하면 다음과 같다.$\displaystyle d=\frac{|-1|}{\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}6\right)^2+\left(\frac16\right)^2}}=\frac{6\sqrt{13}}{13}$

[1.3] 정사면체이므로 세 점 A, B, C의 좌표는 $\displaystyle (-3,-\sqrt3,0)$, $\displaystyle (3,-\sqrt3,0)$, $\displaystyle (0,2\sqrt3,0)$이고 점 D의 좌표는 다음과 같다.$\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}^{\,2}=\overline{\mathrm{OD}}^{\,2}+\overline{\mathrm{OC}}^{\,2}\Rightarrow6^2=a^2+(2\sqrt3)^2\Rightarrow a=2\sqrt6,\quad a=2\sqrt6$$\displaystyle \mathrm D(0,0,2\sqrt6)$이므로 점 P의 좌표는 $\displaystyle \left(-\frac32,-\frac{\sqrt3}2,\sqrt6\right)$이다.선분 BC와 $\displaystyle x$축의 교점을 점 E라 하면 이 점의 좌표는 $\displaystyle (2,0,0)$이 된다.이 경우 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}$은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{OR}}&=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+t\overrightarrow{\mathrm{CE}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+t(\overrightarrow{\mathrm{OE}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}})=(0,2\sqrt3,0)+t(2,-2\sqrt3,0)\\&=(2t,2\sqrt3(1-t),0)\end{aligned}$그런데 $\displaystyle \angle\mathrm{POR}=120^\circ$이므로$\displaystyle \cos\theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OR}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}||\overrightarrow{\mathrm{OR}}|}=\frac{-3t-3(1-t)+0}{\sqrt{\left(-\frac32\right)^2+\left(-\frac{\sqrt3}2\right)^2+(\sqrt6)^2}\times\sqrt{(2t)^2+(2\sqrt3(1-t))^2}}=-\frac12$이다.정리하면 $\displaystyle 2t^2-3t+1=0$, $\displaystyle \therefore t=\frac12,1$이다.따라서 점 R의 좌표는 $\displaystyle (2,0,0)$ 또는 $\displaystyle (1,\sqrt3,0)$이다.