자연계열 2번

[2.1] 원은 포물선과 접하게 될 때 멈춘다.이때 원의 중심 좌표를 $\displaystyle (m,0)$이라고 한다면 원의 방정식은 $\displaystyle (x-m)^2+y^2=4$이고,이 식에 포물선 방정식($\displaystyle x=y^2,y\geq0$)을 적용하면 다음과 같다.$\displaystyle (x-m)^2+x=4$이고 이를 전개하면 $\displaystyle x^2+(1-2m)x+m^2-4=0$이 된다.포물선과 원이 접할 때 $\displaystyle x$에 대해 하나의 해를 가지기 때문에 근의 공식에서 판별식의 값이 $\displaystyle 0$이다.$\displaystyle (1-2m)^2-4(m^2-4)=0$의 방정식을 풀면 $\displaystyle -4m+17=0$, $\displaystyle m=\frac{17}4$이 된다.따라서 원의 중심은 $\displaystyle \left(\frac{17}4,0\right)$이다.$\displaystyle x^2+(1-2m)x+m^2-4=0$이 되는 식에 $\displaystyle m$값을 적용하면 $\displaystyle x^2-\frac{15}2x+\frac{225}{16}=\left(x-\frac{15}4\right)^2=0$이 된다.따라서 원과 포물선의 교점은 $\displaystyle \left(\frac{15}4,\frac{\sqrt{15}}2\right)$이다.

[2.2] 원이 $\displaystyle 1$회전을 할 때 원의 중심이 이동하는 거리는 $\displaystyle 4\pi(=2\pi r)$이다.따라서 원 중심의 이동속도는 초당 $\displaystyle 4\left(=\frac{4\pi}\pi\right)$이다.원 중심의 총 이동거리가 $\displaystyle \frac{23}4\left(=10-\frac{17}4\right)$이므로 이동 $\displaystyle \frac{23}{16}\left(=\frac{23}4\div4\right)$초이다.A점은 $\displaystyle \pi$초 동안 $\displaystyle 2\pi$를 회전하므로 $\displaystyle \frac{23}{16}$초 동안에는 총 $\displaystyle \frac{23}8\left(=\frac{2\pi}\pi\times\frac{23}{16}\right)$을 회전하게 된다.이는 $\displaystyle \pi(=3.14)$보다 작으므로 $\displaystyle \angle\mathrm{OCA}=\pi-\frac{23}8$이다.

[2.3] 원점과 접점이 마주보는 꼭짓점으로 하는 직사각형 넓이$\displaystyle (\mathrm A)=\frac{15}4\times\frac{\sqrt{15}}2=\frac{15\sqrt{15}}8$포물선과 $\displaystyle y$축 사이의 넓이$\displaystyle (\mathrm B)=\int_0^{\frac{\sqrt{15}}2}y^2\,dy=\left(\frac{\sqrt{15}}2\right)^3\div3=\frac{15\sqrt{15}}{24}=\frac{5\sqrt{15}}8$$\displaystyle x$축과 각도 $\displaystyle \alpha$를 갖는 부채꼴의 넓이$\displaystyle (\mathrm C)=\frac12\times2^2\times\alpha=2\alpha$직사각형(S)와 교차하지 않는 부채꼴 부분의 넓이$\displaystyle (\mathrm D)=\frac12\times\frac12\times\frac{\sqrt{15}}2=\frac{\sqrt{15}}8$따라서 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle (\mathrm S)-(\mathrm B)-((\mathrm C)-(\mathrm D))=\frac{15\sqrt{15}}8-\frac{5\sqrt{15}}8-2\alpha+\frac{\sqrt{15}}8=\frac{11\sqrt{15}}8-2\alpha$