자연계열 1번

근과 계수의 관계에 의하여$\displaystyle \alpha+\beta=-a$, $\displaystyle \alpha\beta=-b$이다.

정의에서 $\displaystyle f_{n+1}-\alpha f_{n}=\beta^{n+1}$이므로$\displaystyle \begin{aligned} f_{n+2}-(\alpha+\beta)f_{n+1}+\alpha\beta f_{n} &=(f_{n+2}-\alpha f_{n+1})-\beta(f_{n+1}-\alpha f_{n}) \\ &=\beta^{n+2}-\beta\cdot\beta^{n+1}=0 \end{aligned}$따라서 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle f_{n+2}=-af_{n+1}+bf_{n}$이다.

명제 $\displaystyle p(n)$을 “$\displaystyle f_{n}$과 $\displaystyle f_{n+1}$이 모두 정수이다”라 하자.$\displaystyle f_{1}=\alpha+\beta=-a$, $\displaystyle f_{2}=(\alpha+\beta)^{2}-\alpha\beta=a^{2}+b$이므로$\displaystyle p(1)$은 참이다.

$\displaystyle p(k)$가 참이라고 가정하면 $\displaystyle f_{k}$와 $\displaystyle f_{k+1}$이 모두 정수이고,(i)에 의하여 $\displaystyle f_{k+2}=-af_{k+1}+bf_{k}$도 정수이다.따라서 $\displaystyle p(k+1)$도 참이므로수학적 귀납법에 의하여 수열 $\displaystyle \{f_{n}\}$의 모든 항은 정수이다.

$\displaystyle a,b$는 음이 아닌 정수이고 $\displaystyle a+b=5$이므로 $\displaystyle a^{2}+4b>0$이다.따라서 두 근은 서로 다르고,$\displaystyle (\beta-\alpha)f_{n}=\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}$에서$\displaystyle f_{n}=\frac{\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}}{\beta-\alpha}$이를 이용하면$\displaystyle \begin{aligned} f_{5} &=\frac{\beta^{6}-\alpha^{6}}{\beta-\alpha} \\ &=(\alpha+\beta)(\alpha^{2}+\alpha\beta+\beta^{2})(\alpha^{2}-\alpha\beta+\beta^{2}) \\ &=-a(a^{2}+b)(a^{2}+3b) \end{aligned}$$\displaystyle b=5-a$를 대입하여 가능한 값을 구하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|rrrrrr} a & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline f_{5} & 0 & -65 & -182 & -495 & -1292 & -3125 \end{array}$

따라서 $\displaystyle |f_{5}|>1000$인 경우는 $\displaystyle a=4$ 또는 $\displaystyle a=5$일 때이다.앞면이 $\displaystyle 4$번 나오는 경우는 $\displaystyle 5$가지, $\displaystyle 5$번 나오는 경우는 $\displaystyle 1$가지이므로구하는 경우의 수는 $\displaystyle 5+1=6$이다.