자연계열 1번

먼저,$\displaystyle \begin{aligned} -af_{n+1}+bf_{n} &=(\alpha+\beta)\left(\sum_{k=0}^{n+1}\alpha^{n+1-k}\beta^{k}\right)-(\alpha\beta)\left(\sum_{k=0}^{n}\alpha^{n-k}\beta^{k}\right) \\ &=\left(\sum_{k=0}^{n+1}\alpha^{n+2-k}\beta^{k}\right)+\left(\sum_{k=0}^{n+1}\alpha^{n+1-k}\beta^{k+1}\right)-\left(\sum_{k=0}^{n}\alpha^{n+1-k}\beta^{k+1}\right) \end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} &=\left(\sum_{k=0}^{n+1}\alpha^{n+2-k}\beta^{k}\right)+\beta^{n+2} \\ &=f_{n+2} \end{aligned}$가 성립한다.

자연수 $\displaystyle n$에 대하여 명제 $\displaystyle p(n)$을 “$\displaystyle f_{n}$과 $\displaystyle f_{n+1}$이 정수이다”로 설정하자. $\displaystyle f_{1}=\alpha+\beta=-a$이고, $\displaystyle f_{2}=\alpha^{2}+\alpha\beta+\beta^{2}=a^{2}+b$이므로 두 수 모두 정수이다.따라서, 명제 $\displaystyle p(n)$은 $\displaystyle n=1$일 때 참이다.

명제 $\displaystyle p(n)$이 $\displaystyle n=k$일 때 참이라고 가정하면, $\displaystyle f_{k}$와 $\displaystyle f_{k+1}$이 정수이다.이때, $\displaystyle f_{k+2}=-af_{k+1}+bf_{k}$이므로, $\displaystyle f_{k+2}$도 정수이다.즉, $\displaystyle f_{k+1}$과 $\displaystyle f_{k+2}$가 정수이므로 명제 $\displaystyle p(n)$이 $\displaystyle n=k+1$일 때 참이다.따라서, 수열 $\displaystyle \{f_{n}\}$의 모든 항이 정수이다.

동전을 5번 던져 나올 수 있는 $\displaystyle (a,b)$는 아래의 여섯가지이다.$\displaystyle (0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)$각각에 대해서 [문제 1-i]의 결과를 적용시키면 아래와 같은 표를 얻을 수 있다.$\displaystyle \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline (a,b) & f_{n+2} & f_{1} & f_{2} & f_{3} & f_{4} & f_{5} \\ \hline (0,5) & 5f_{n} & 0 & 5 & 0 & 25 & 0 \\ \hline (1,4) & -f_{n+1}+4f_{n} & -1 & 5 & -9 & 29 & -65 \\ \hline (2,3) & -2f_{n+1}+3f_{n} & -2 & 7 & -20 & 61 & -182 \\ \hline (3,2) & -3f_{n+1}+2f_{n} & -3 & 11 & -39 & 139 & -495 \\ \hline (4,1) & -4f_{n+1}+f_{n} & -4 & 17 & -72 & 305 & -1292 \\ \hline (5,0) & -5f_{n+1} & -5 & 25 & -125 & 625 & -3125 \\ \hline \end{array}$

위의 표에서와 같이 절댓값 $\displaystyle |f_{5}|$의 값이 $\displaystyle 1000$보다 큰 경우는 $\displaystyle (a,b)$가 $\displaystyle (4,1)$ 또는 $\displaystyle (5,0)$ 인 경우이다. 즉, 동전을 5번 던져 앞면이 4번 이상 나오는 경우이다.동전의 앞면이 4번 나오는 경우는 5가지이고,앞면이 5번 나오는 경우는 1가지이므로, 모두 6가지이다.