자연계열 2번

$\displaystyle 3x+2=15a-25b=5(3a-5b)$이므로, $\displaystyle 3x+2$는 $\displaystyle 5$의 배수이다.따라서, $\displaystyle x=5k+1$의 꼴이다. 이를 다시 대입하면, $\displaystyle 3k+1=3a-5b$를 얻게 된다.여기서, $\displaystyle x$는 음이 아닌 정수이므로, $\displaystyle k$도 음이 아닌 정수이다.$\displaystyle (a,b)=(2,1)$을 대입하면, $\displaystyle 3a-5b=1$을 얻게 되므로, $\displaystyle 3k+1$꼴의 음이 아닌 정수는 항상 $\displaystyle 3a-5b$의 형태로 쓰여지게 된다.이로부터 집합 $\displaystyle S$는 $\displaystyle 5k+1$꼴의 음이 아닌 정수들의 집합이고, $\displaystyle a_{n}=5n-4$임을 알 수 있다.즉, 수열 $\displaystyle \{a_{n}\}$은 첫째항이 $\displaystyle 1$이고 공차가 $\displaystyle 5$인 등차수열이다.

따라서, $\displaystyle a_{100}=496$이다.

제시문을 이용하여$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n=1}^{m}a_{n}^{2} &=\sum_{n=1}^{m}(5n-4)^{2} \\ &=25\left(\sum_{n=1}^{m}n^{2}\right)-40\left(\sum_{n=1}^{m}n\right)+16\left(\sum_{n=1}^{m}1\right) \\ &=\frac{25m(m+1)(2m+1)}{6}-20m(m+1)+16m \\ &=\frac{m(50m^{2}-45m+1)}{6} \end{aligned}$을 얻게 된다. 소문항의 식은 $\displaystyle \sum_{n=1}^{20}a_{n}^{2}-\sum_{n=1}^{10}a_{n}^{2}$이므로, $\displaystyle m=10,20$일 때 계산한 다음, 빼주면 된다.

즉, $\displaystyle \frac{20(50\times20^{2}-45\times20+1)}{6}-\frac{10(50\times10^{2}-45\times10+1)}{6}=56085$이다.

수열 $\displaystyle \{b_{n}\}$은 첫째항이 $\displaystyle 1$이고 공차가 $\displaystyle p=5-c$인 등차수열이다. 따라서,$\displaystyle T_{n}=\frac{n\{2+(n-1)p\}}{2}$이다.

비 $\displaystyle \frac{T_{2n}}{T_{n}}=k$가 일정하다면,$\displaystyle \frac{2n\{2+(2n-1)p\}}{2}=\frac{kn\{2+(n-1)p\}}{2}$가 성립한다. 양변을 $\displaystyle n$으로 나눈 다음 정리하면,$\displaystyle (4-k)pn=(k-2)(2-p)$을 얻게 된다.

따라서 $\displaystyle (4-k)p=0$이므로, $\displaystyle k=4$ 또는 $\displaystyle p=0$이고 이로부터 $\displaystyle k=4$일 때, $\displaystyle p=2$이고 $\displaystyle p=0$일 때, $\displaystyle k=2$이다. 따라서 이로부터 $\displaystyle c=5$ 또는 $\displaystyle 3$이다.