자연계열 2번

성균관대 2023학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/skku/2023mo/jayeon_2

[문제 2] 다음 <제시문 1> - <제시문 3>을 읽고 [문제 2-i] - [문제 2-iii]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

<제시문 1>자연수의 거듭제곱의 합은 다음과 같다. $\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}k &=\frac{n(n+1)}{2} \\ \sum_{k=1}^{n}k^{2} &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ \sum_{k=1}^{n}k^{3} &=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^{2} \end{aligned}$

<제시문 2>첫째항이 $\displaystyle a$ , 공차가 $\displaystyle d$ 인 등차수열의 제 $\displaystyle n$ 항을 $\displaystyle l$ 이라 하고, 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_{n}$ 이라고 하면, $\displaystyle S_{n}=\frac{n(a+l)}{2}=\frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}$ 이다.

<제시문 3>음이 아닌 정수 $\displaystyle x$ 가, 음이 아닌 정수 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 에 대해 $\displaystyle 3x=15a-25b-2$ 를 만족할 때, 이러한 모든 $\displaystyle x$ 의 집합을 $\displaystyle S$ 라고 하자. 그리고, 집합 $\displaystyle S$ 의 원소를 작은 수부터 차례로 $\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ 로 나타내자.

[문제 2-i] <제시문 3>에서 정의된 수열 $\displaystyle \{a_{n}\}$ 에 대하여, $\displaystyle a_{100}$ 의 값을 구하고 그 이유를 논하시오. (10점)

[문제 2-ii] <제시문 3>에서 정의된 수열 $\displaystyle \{a_{n}\}$ 에 대하여, $\displaystyle \sum_{n=11}^{20}a_{n}^{2}=a_{11}^{2}+a_{12}^{2}+\cdots+a_{20}^{2}$ 의 값을 구하고, 그 이유를 논하시오. (10점)

[문제 2-iii] <제시문 3>에서 정의된 수열 $\displaystyle \{a_{n}\}$ 과 상수 $\displaystyle c$ 에 대하여, 일반항이 $\displaystyle b_{n}=a_{n}-c(n-1)$ 인 수열 $\displaystyle \{b_{n}\}$ 을 정의하고, 이 수열 $\displaystyle \{b_{n}\}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle T_{n}$ 이라고 하자. 비 $\displaystyle T_{n}:T_{2n}$ 이 $\displaystyle n$ 의 값에 관계없이 일정하기 위한 $\displaystyle c$ 의 값을 모두 구하고, 그 이유를 논하시오. (15점)

해설강의 준비중

성균관대 2023학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/skku/2023mo/jayeon_2

[문제 2-i]

+8점 · 수열

\displaystyle \{a_{n}\}

의 일반항을 구할 수 있다.

$\displaystyle 3x+2=15a-25b=5(3a-5b)$ 이므로, $\displaystyle 3x+2$ 는 $\displaystyle 5$ 의 배수이다.따라서, $\displaystyle x=5k+1$ 의 꼴이다. 이를 다시 대입하면, $\displaystyle 3k+1=3a-5b$ 를 얻게 된다.여기서, $\displaystyle x$ 는 음이 아닌 정수이므로, $\displaystyle k$ 도 음이 아닌 정수이다. $\displaystyle (a,b)=(2,1)$ 을 대입하면, $\displaystyle 3a-5b=1$ 을 얻게 되므로, $\displaystyle 3k+1$ 꼴의 음이 아닌 정수는 항상 $\displaystyle 3a-5b$ 의 형태로 쓰여지게 된다.이로부터 집합 $\displaystyle S$ 는 $\displaystyle 5k+1$ 꼴의 음이 아닌 정수들의 집합이고, $\displaystyle a_{n}=5n-4$ 임을 알 수 있다.즉, 수열 $\displaystyle \{a_{n}\}$ 은 첫째항이 $\displaystyle 1$ 이고 공차가 $\displaystyle 5$ 인 등차수열이다.

+2점 · 수열의

\displaystyle 100

번째 항을 구할 수 있다.

따라서, $\displaystyle a_{100}=496$ 이다.

[문제 2-ii]

+3점 ·

\displaystyle \sum_{n=1}^{20}a_{n}^{2}-\sum_{n=1}^{10}a_{n}^{2}

을 고려할 수 있다.

제시문을 이용하여 $\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n=1}^{m}a_{n}^{2} &=\sum_{n=1}^{m}(5n-4)^{2} \\ &=25\left(\sum_{n=1}^{m}n^{2}\right)-40\left(\sum_{n=1}^{m}n\right)+16\left(\sum_{n=1}^{m}1\right) \\ &=\frac{25m(m+1)(2m+1)}{6}-20m(m+1)+16m \\ &=\frac{m(50m^{2}-45m+1)}{6} \end{aligned}$ 을 얻게 된다. 소문항의 식은 $\displaystyle \sum_{n=1}^{20}a_{n}^{2}-\sum_{n=1}^{10}a_{n}^{2}$ 이므로, $\displaystyle m=10,20$ 일 때 계산한 다음, 빼주면 된다.

+7점 · 거듭제곱의 합을 올바르게 구할 수 있다.

즉, $\displaystyle \frac{20(50\times20^{2}-45\times20+1)}{6}-\frac{10(50\times10^{2}-45\times10+1)}{6}=56085$ 이다.

[문제 2-iii]

+3점 ·

\displaystyle T_{n}

을 식으로 표현할 수 있다.

수열 $\displaystyle \{b_{n}\}$ 은 첫째항이 $\displaystyle 1$ 이고 공차가 $\displaystyle p=5-c$ 인 등차수열이다. 따라서, $\displaystyle T_{n}=\frac{n\{2+(n-1)p\}}{2}$ 이다.

+9점 · 식

\displaystyle (4-k)pn=(k-2)(2-p)

을 유도할 수 있다.

비 $\displaystyle \frac{T_{2n}}{T_{n}}=k$ 가 일정하다면, $\displaystyle \frac{2n\{2+(2n-1)p\}}{2}=\frac{kn\{2+(n-1)p\}}{2}$ 가 성립한다. 양변을 $\displaystyle n$ 으로 나눈 다음 정리하면, $\displaystyle (4-k)pn=(k-2)(2-p)$ 을 얻게 된다.

+3점 ·

\displaystyle c

의 값을 모두 구할 수 있다.

따라서 $\displaystyle (4-k)p=0$ 이므로, $\displaystyle k=4$ 또는 $\displaystyle p=0$ 이고 이로부터 $\displaystyle k=4$ 일 때, $\displaystyle p=2$ 이고 $\displaystyle p=0$ 일 때, $\displaystyle k=2$ 이다. 따라서 이로부터 $\displaystyle c=5$ 또는 $\displaystyle 3$ 이다.

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