자연계열 3번

$\displaystyle \begin{aligned} f(-x) &=-x-|-x+2|+|-x+1|-|-x-1|+|-x-2| \\ &=-x-|x-2|+|x-1|-|x+1|+|x+2| \\ &=-f(x) \end{aligned}$이므로, $\displaystyle y=f(x)$는 원점에 대해 대칭이다.닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle f(x)=x$이다.닫힌구간 $\displaystyle [1,2]$에서 $\displaystyle f(x)=-x+2$이다.구간 $\displaystyle [2,\infty)$에서 $\displaystyle f(x)=x-2$이다.

따라서, $\displaystyle x=a$에서 극댓값을 가지기 위한 $\displaystyle a$의 값은 $\displaystyle -2,1$이다.

$\displaystyle g(-x)=|-x|^{3}-(-x)^{2}=|x|^{3}-x^{2}=g(x)$이므로, 함수 $\displaystyle y=g(x)$는 $\displaystyle y$축에 대해 대칭이다. 따라서, $\displaystyle h(-x)=g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x))=h(x)$이므로 함수 $\displaystyle y=h(x)$도 $\displaystyle y$축에 대해 대칭이다. 이제 $\displaystyle x\ge0$일 때, 함수 $\displaystyle y=h(x)$를 살펴보자.닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle h(x)=g(x)=x^{3}-x^{2}$이다.닫힌구간 $\displaystyle [1,2]$에서 $\displaystyle h(x)=g(-x+2)=(x-2)^{2}(1-x)$이므로, 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서의 함수 $\displaystyle h(x)=g(x)=x^{3}-x^{2}$를 직선 $\displaystyle x=1$에 대해 대칭이동시킨 것이다.구간 $\displaystyle [2,\infty)$에서 $\displaystyle h(x)=g(x-2)$이므로, 구간 $\displaystyle [0,\infty)$에서의 함수 $\displaystyle g(x)=x^{3}-x^{2}$를 $\displaystyle x$축 방향으로 $\displaystyle 2$만큼 평행이동 시킨 것이다.

따라서, $\displaystyle x=0,1,2$에서 극댓값을 가진다.

$\displaystyle g^{\prime}(x)=3x^{2}-2x=0$으로부터 $\displaystyle x=\frac{2}{3},\frac{4}{3},\frac{8}{3}$에서 극솟값을 가진다.대칭성에 의해, $\displaystyle x=-2,-1$에서도 극댓값을 가지고, $\displaystyle x=-\frac{2}{3},-\frac{4}{3},-\frac{8}{3}$에서도 극솟값을 가진다.따라서, 극댓값을 가지는 $\displaystyle x=a$의 절댓값의 합은 $\displaystyle 0+2(1+2)=6$이고, 극솟값을 가지는 $\displaystyle x=b$의 절댓값의 합은 $\displaystyle 2\left(\frac{2}{3}+\frac{4}{3}+\frac{8}{3}\right)=\frac{28}{3}$이다.

함수 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle y$축에 대해 대칭이므로 $\displaystyle \int_{-2}^{2}h(x)dx=2\int_{0}^{2}h(x)dx$이다. 닫힌구간 $\displaystyle [0,2]$에서 함수 $\displaystyle h(x)$는 직선 $\displaystyle x=1$에 대해서 대칭이므로 $\displaystyle \int_{0}^{2}h(x)dx=2\int_{0}^{1}h(x)dx$이다.

따라서, $\displaystyle \int_{-2}^{2}h(x)dx=4\int_{0}^{1}h(x)dx=4\int_{0}^{1}(x^{3}-x^{2})dx=-\frac{1}{3}$이다.