자연계열 1번

$\displaystyle k=0$일 때, 직선 $\displaystyle \ell$은 점 $\displaystyle (0,0)$을 지나고 기울기가 $\displaystyle 1$이 되므로, 직선 $\displaystyle \ell$의 방정식은 $\displaystyle y=x$가 된다. 따라서 $\displaystyle A(0)$은 곡선 $\displaystyle y=x-x^{2}$, 직선 $\displaystyle y=x$, 직선 $\displaystyle x=1$로 둘러싸인 도형의 넓이이므로 다음과 같은 정적분의 값으로 주어진다.$\displaystyle A(0)=\int_{0}^{1}(x-(x-x^{2}))dx=\frac{1}{3}$

한편, $\displaystyle k=0$일 때, 직선 $\displaystyle \ell$과 곡선 $\displaystyle y=x^{2}-x$이 만나는 점 중에서 1사분면에 있는 점의 좌표는 $\displaystyle (2,2)$가 된다. 따라서 $\displaystyle B(0)$은 곡선 $\displaystyle y=x^{2}-x$와 직선 $\displaystyle y=x$로 둘러싸인 영역 중에서 직선 $\displaystyle x=1$의 오른쪽에 있는 부분의 넓이이므로 다음과 같은 정적분의 값으로 주어진다.$\displaystyle B(0)=\int_{1}^{2}(x-(x^{2}-x))dx=\frac{2}{3}$따라서 $\displaystyle A(0):B(0)=1:2$가 된다.

직선 $\displaystyle \ell$은 점 $\displaystyle (k,k-k^{2})$를 지나고, 기울기가 $\displaystyle 1-2k$이므로, 직선 $\displaystyle \ell$의 방정식은 $\displaystyle y=(1-2k)(x-k)+k-k^{2}$과 같게 된다.

이제 직선 $\displaystyle \ell$의 방정식과 $\displaystyle y=x^{2}-x$를 연립해서 풀자. 연립방정식의 두 해의 $\displaystyle x$좌표 중에서 양수인 경우만을 택하면, $\displaystyle \alpha=1-k+\sqrt{1-2k+2k^{2}}$이 되고, 이 값은$\displaystyle 1-k+\sqrt{1-2k+2k^{2}}=1-k+\sqrt{(1-k)^{2}+k^{2}}>1-k+\sqrt{k^{2}}=1$이 되므로, 항상 $\displaystyle 1$보다 커짐을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle B(k)$는 곡선 $\displaystyle y=x^{2}-x$와 직선 $\displaystyle \ell$로 둘러싸인 영역 중에서 직선 $\displaystyle x=1$의 오른쪽에 있는 부분의 넓이이므로, 다음과 같은 정적분의 값으로 주어진다.$\displaystyle \begin{aligned} B(k) &=\int_{1}^{\alpha}((1-2k)(x-k)+k-k^{2}-(x^{2}-x))dx \\ &=\int_{1}^{\alpha}(k^{2}+2x-2kx-x^{2})dx \\ &=k^{2}(\alpha-1)+(1-k)(\alpha^{2}-1)-\frac{1}{3}(\alpha^{3}-1) \\ &=(\alpha-1)\left\{k^{2}-k(\alpha+1)-\frac{1}{3}(\alpha^{2}-2\alpha-2)\right\} \end{aligned}$위의 값은 $\displaystyle k$와 $\displaystyle \alpha$에 대한 다항식의 형태임을 알 수 있다.

[문제 1-ⅱ]의 풀이로부터,$\displaystyle \alpha=1-k+\sqrt{1-2k+2k^{2}}$이고, $\displaystyle B(k)=k^{2}(\alpha-1)+(1-k)(\alpha^{2}-1)-\frac{1}{3}(\alpha^{3}-1)$로 주어진다.$\displaystyle k=\frac{1}{n}$을 위 식에 대입하면, $\displaystyle \alpha=1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\sqrt{n^{2}-2n+2}$가 되고, $\displaystyle B\left(\frac{1}{n}\right)$을 $\displaystyle \alpha$에 대한 다항식 형태로 정리하면,$\displaystyle B\left(\frac{1}{n}\right)=-\frac{1}{3}\alpha^{3}+\left(1-\frac{1}{n}\right)\alpha^{2}+\frac{1}{n^{2}}\alpha-\frac{2}{3}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}$이 된다. 이제 $\displaystyle \alpha=1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\sqrt{n^{2}-2n+2}$를 위 식에 대입해서 정리하면,$\displaystyle B\left(\frac{1}{n}\right)=C+D\sqrt{n^{2}-2n+2}$　($\displaystyle C$와 $\displaystyle D$는 각각 유리수)의 형태가 된다.

여기서 구체적으로 $\displaystyle D$를 구하면,$\displaystyle D=\frac{2}{3n}-\frac{4}{3n^{2}}+\frac{4}{3n^{3}}=\frac{2}{3n^{3}}(n^{2}-2n+2)=\frac{2}{3n^{3}}((n-1)^{2}+1)>0$이 되므로, $\displaystyle D$는 항상 양수가 됨을 보일 수 있다.