자연계열 3번

$\displaystyle 1\le n\le20$에 대하여, 수열 $\displaystyle a_{n}$의 값과 $\displaystyle f(n)$의 값을 표로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ \hline a_{n} & 1 & 6 & 3 & 4 & 5 & 2 & 1 & 6 & 3 & 4 & 5 & 2 & 1 & 6 & 3 & 4 & 5 & 2 & 1 & 6 \\ \hline f(n) & -4 & 4 & 2 & -2 & 2 & -2 & -4 & 4 & 2 & -2 & 2 & -2 & -4 & 4 & 2 & -2 & 2 & -2 & -4 & 4 \\ \hline \end{array}$

한편, $\displaystyle 1\le x<7$에 대하여 함수 $\displaystyle h(x)$의 구체적인 표현은 아래와 같다.$\displaystyle h(x)=\begin{cases}-4g(x-1), & 1\le x<2 \\ 4g(x-2), & 2\le x<3 \\ 2g(x-3), & 3\le x<4 \\ -2g(x-4), & 4\le x<5 \\ 2g(x-5), & 5\le x<6 \\ -2g(x-6), & 6\le x<7\end{cases}$$\displaystyle g(x-m)$의 그래프는 $\displaystyle g(x)$의 그래프를 $\displaystyle x$축으로 $\displaystyle m$만큼 평행 이동하여 얻어지고, $\displaystyle h(x)=h(x-6)$이므로, 함수 $\displaystyle h(x)$의 그래프의 개형은 아래 그림과 같다.

$\displaystyle y=g(x)$의 $\displaystyle x=0$에서의 기울기는 $\displaystyle 1$이고, $\displaystyle x=1$에서의 기울기는 $\displaystyle -1$이다. $\displaystyle g(x-m)$의 그래프는 $\displaystyle g(x)$의 그래프를 $\displaystyle x$축으로 $\displaystyle m$만큼 평행 이동하여 얻어지므로, $\displaystyle y=g(x-m)$의 $\displaystyle x=m$에서의 기울기는 $\displaystyle 1$이고, $\displaystyle x=m+1$에서의 기울기는 $\displaystyle -1$이 된다. 또한 $\displaystyle y=c\cdot g(x-m)$의 $\displaystyle x=m$에서의 기울기는 $\displaystyle c$이고, $\displaystyle x=m+1$에서의 기울기는 $\displaystyle -c$가 된다. 이제, 풀이 (ⅰ)에 주어진 구간 $\displaystyle 1\le x<7$에서의 함수 $\displaystyle h(x)$의 구체적인 표현과 $\displaystyle h(x)=h(x+6)$라는 성질로부터, $\displaystyle h(x)$의 미분불가능한 점은$\displaystyle x=3+6k,\ x=7+6k\ (k=0,1,2,\cdots)$에서 발생함을 알 수 있다.

따라서, 구간 $\displaystyle 1<x<100$에서 $\displaystyle h(x)$의 미분불가능한 점은$\displaystyle x=3+6k\ (k=0,1,2,\cdots,16),\ x=7+6k\ (k=0,1,2,\cdots,15)$이므로, 이들의 총 개수는 $\displaystyle 17+16=33$개가 된다.

모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여, $\displaystyle h(x)=h(x+6)$이므로, 다음의 등식이 성립한다.Comment. 함수 $\displaystyle h$의 정의역은 $\displaystyle x\ge1$이므로, ‘모든 실수 x’는 ‘1 이상인 모든 실수 x’로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \int_{1}^{7}h(x)dx=\int_{1+6k}^{7+6k}h(x)dx$위의 등식으로부터, 정적분 $\displaystyle \int_{1}^{100}h(x)dx$의 값은 다음과 같이 표현됨을 알 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned} \int_{1}^{100}h(x)dx &=\int_{1}^{7}h(x)dx+\int_{7}^{13}h(x)dx+\cdots+\int_{91}^{97}h(x)dx+\int_{97}^{100}h(x)dx \\ &=16\int_{1}^{7}h(x)dx+\int_{1}^{4}h(x)dx \end{aligned}$

한편, 풀이 (ⅰ)에 주어진 $\displaystyle 1\le x<7$일 때, 함수 $\displaystyle h(x)$의 구체적인 표현식으로부터, $\displaystyle \int_{1}^{7}h(x)dx$의 값과 $\displaystyle \int_{1}^{4}h(x)dx$의 값은 다음과 같이 계산된다.$\displaystyle \begin{aligned} \int_{1}^{7}h(x)dx &=\int_{1}^{2}(-4)g(x-1)dx+\int_{2}^{3}4g(x-2)dx+\int_{3}^{4}2g(x-3)dx+\int_{4}^{5}(-2)g(x-4)dx \\ &\quad+\int_{5}^{6}2g(x-5)dx+\int_{6}^{7}(-2)g(x-6)dx \\ &=((-4)+4+2+(-2)+2+(-2))\int_{0}^{1}g(t)dt=0, \end{aligned}$$\displaystyle \begin{aligned} \int_{1}^{4}h(x)dx &=\int_{1}^{2}(-4)g(x-1)dx+\int_{2}^{3}4g(x-2)dx+\int_{3}^{4}2g(x-3)dx \\ &=((-4)+4+2)\int_{0}^{1}g(t)dt=2\int_{0}^{1}(t-t^{2})dt=\frac{1}{3} \end{aligned}$따라서, 정적분 $\displaystyle \int_{1}^{100}h(x)dx$의 값은 $\displaystyle \frac{1}{3}$이 된다.