자연계열 2번

성균관대 2024학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/skku/2024mo/jayeon_2

[문제 2] 다음 <제시문 1> ~ <제시문 3>을 읽고 [문제 2-ⅰ] ~ [문제 2-ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (35점)

<제시문 1>두 함수 $\displaystyle f(x),g(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때, 두 곡선 $\displaystyle y=f(x),y=g(x)$ 및 두 직선 $\displaystyle x=a,x=b$ 로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle S$ 는 다음과 같다. $\displaystyle S=\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx$

<제시문 2>첫째항이 $\displaystyle a$ , 공비가 $\displaystyle r$ 인 등비수열의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합 $\displaystyle S_{n}$ 은 다음과 같다. $\displaystyle S_{n}=\begin{cases}\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1} & (r\ne1\text{일 때}) \\[6pt] na & (r=1\text{일 때})\end{cases}$

<제시문 3>양의 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 두 조건을 만족시킨다. (단, $\displaystyle A,B$ 는 상수이고, $\displaystyle A>1$ 이다.)· 모든 양의 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(Ax)=Af(x)$ 이 성립한다.· 닫힌 구간 $\displaystyle [1,A]$ 에서 $\displaystyle f(x)=B-\frac{2B}{A-1}\left|x-\frac{A+1}{2}\right|$ 이다.

[문제 2-ⅰ] <제시문 3>의 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여, $\displaystyle A=3$ 이고 $\displaystyle B=1$ 일 때, 정적분 $\displaystyle \int_{\frac{2}{3}}^{9}f(x)dx$ 의 값을 구하고 그 이유를 논하여라. (10점)

[문제 2-ⅱ] 삼차함수 $\displaystyle g(x)=x^{3}-9x^{2}+18x$ 와 <제시문3>의 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle A=2$ 이고 $\displaystyle B=\frac{1}{2}$ 일 때, 합성함수 $\displaystyle (g\circ f)(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 극솟값을 가진다고 한다. $\displaystyle 1\le a\le100$ 일 때 가능한 $\displaystyle a$ 값의 개수를 구하고 그 이유를 논하여라. (10점)

[문제 2-ⅲ] <제시문 3>의 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여, 수열 $\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\cdots$ 을 $\displaystyle a_{n}=\int_{A^{n-1}}^{A^{n}}f(x)dx$ 로 정의하자. 수열의 각 항 $\displaystyle a_{n}$ 에 대해 $\displaystyle \log_{3}a_{n}$ 의 값이 모두 정수이고 다음의 두 조건· $\displaystyle \sum_{n=1}^{6}\log_{3}a_{n}=117$ 　　· $\displaystyle 37<\log_{3}\left(\sum_{n=1}^{6}a_{n}\right)<38$ 을 만족할 때, 가능한 순서쌍 $\displaystyle (A,B)$ 를 모두 구하고 그 이유를 논하여라. (15점)

해설강의 준비중

성균관대 2024학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/skku/2024mo/jayeon_2

[문제 2-ⅰ]

+5점 · 함수

\displaystyle f(x)

의 그래프를 올바르게 구할 수 있다.

조건 $\displaystyle f(Ax)=Af(x)$ 로부터, 점 $\displaystyle (a,b)$ 가 그래프 $\displaystyle y=f(x)$ 의 위에 있다면 점 $\displaystyle (Aa,Ab)$ 도 역시 그래프 $\displaystyle y=f(x)$ 의 위에 있어야 한다는 사실을 알 수 있다.

+5점 · 정적분의 값을 구할 수 있다.

정적분 $\displaystyle \int_{1}^{3}f(x)dx$ 의 값은 밑변의 길이가 $\displaystyle 2$ 이고 높이가 $\displaystyle 1$ 인 삼각형의 넓이이므로, 그 값은 $\displaystyle 1$ 이다. 따라서, 닫힌 구간 $\displaystyle [3,9]$ 에서의 정적분 $\displaystyle \int_{3}^{9}f(x)dx$ 의 값은 밑변의 길이가 $\displaystyle 6$ 이고 높이가 $\displaystyle 3$ 인 삼각형의 넓이이므로 그 값은 $\displaystyle 9$ 이다. 마찬가지로 $\displaystyle \int_{\frac{2}{3}}^{3}f(x)dx=\frac{1}{2}$ 이므로, $\displaystyle \int_{\frac{2}{3}}^{1}f(x)dx=\frac{1}{18}$ 이다. 따라서, $\displaystyle \int_{\frac{2}{3}}^{9}f(x)dx=1+9+\frac{1}{18}=\frac{181}{18}$ 이다.

[문제 2-ⅱ]

+5점 · 함수

\displaystyle f(x)

와

\displaystyle g(x)

의 증가와 감소, 극대와 극소를 올바르게 구할 수 있다.

삼차함수 $\displaystyle g(x)=x^{3}-9x^{2}+18x=x(x-3)(x-6)$ 는 세 개의 해 $\displaystyle x=0,3,6$ 을 가지고, $\displaystyle g^{\prime}(x)=3(x^{2}-6x+6)$ 이므로 $\displaystyle x=3-\sqrt{3}$ 에서 극댓값, $\displaystyle x=3+\sqrt{3}$ 에서 극솟값을 가진다.한편, 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 그래프는 정수 $\displaystyle k$ 에 대해 $\displaystyle x=2^{k}$ 에서 극솟값 $\displaystyle 0$ 을 가지고, $\displaystyle x=\frac{1}{2}(2^{k}+2^{k+1})$ 에서 극댓값 $\displaystyle x=2^{k-1}$ 을 가진다.Correction. 극댓값 $\displaystyle 2^{k-1}$ 앞의 $\displaystyle x=$ 는 불필요하다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.닫힌 구간 $\displaystyle [1,100]$ 을 $\displaystyle [1,2),[2,4),[4,8),[8,16),[16,32),[32,64),[64,100]$ 으로 나누어서 생각하자.

(a) 구간 $\displaystyle [1,2)$ 와 $\displaystyle [2,4)$ 에서 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 최댓값은 각각 $\displaystyle \frac{1}{2}$ , $\displaystyle 1$ 이고 $\displaystyle 1<3-\sqrt{3}$ 이므로, $\displaystyle (g\circ f)(x)$ 의 극솟값은 $\displaystyle x=1,2$ 에서 발생한다. 즉, 각 구간에서 극솟값이 한 번씩 발생한다.(b) 구간 $\displaystyle [4,8),[8,16)$ 에서 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 최댓값은 각각 $\displaystyle 2,4$ 이고 $\displaystyle 3-\sqrt{3}<2,4<3+\sqrt{3}$ 이므로, $\displaystyle (g\circ f)(x)$ 의 극솟값은 $\displaystyle x=4,6,8,12$ 에서 발생한다. 즉, 각 구간에서 극솟값이 두 번씩 발생한다.(c) 구간 $\displaystyle [16,32),[32,64),[64,128)$ 에서 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 각각의 최댓값은 $\displaystyle 3+\sqrt{3}$ 보다 크므로, $\displaystyle (g\circ f)(x)$ 의 극솟값은 각 구간에서 $\displaystyle 3$ 번씩 발생한다. 하지만, $\displaystyle x=100$ 에서의 함수값 $\displaystyle f(100)=64f\left(\frac{100}{64}\right)=64\times\frac{7}{16}=28>4$ 이므로, 마지막 닫힌 구간 $\displaystyle [64,100]$ 에서는 극솟값이 $\displaystyle 2$ 번 발생한다.Comment. 마지막 구간에서는 $\displaystyle f(100)=28>3+\sqrt3$ 임을 확인하면 된다. 따라서 대학 답안의 극솟값 개수 14는 옳다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+5점 · 극솟값의 개수를 올바르게 구할 수 있다.

(a),(b),(c)를 종합하면, 극솟값은 $\displaystyle 2\times1+2\times2+3\times2+2=14$ 번 발생한다.

[문제 2-ⅲ]

+3점 · 수열

\displaystyle a_{n}

의 일반항을 구할 수 있다.

$\displaystyle a_{1}=a=\frac{B(A-1)}{2}$ 라고 두면, $\displaystyle a_{n}=a(A^{2})^{n-1}$ 이 된다. $\displaystyle \log_{3}a_{n}=\log_{3}a+2(n-1)\log_{3}A$ 의 값이 항상 정수이므로, $\displaystyle \log_{3}a=P$ 와 $\displaystyle 2\log_{3}A=Q$ 의 값 모두 정수이다.

+3점 · 첫 번째 조건을 수식화할 수 있다.

문제의 첫 번째 조건으로부터 $\displaystyle \sum_{n=1}^{6}\log_{3}a_{n}=6\log_{3}a+15\times2\log_{3}A=6P+15Q=117$ 이므로, 식 $\displaystyle 2P+5Q=39$ 를 얻을 수 있다.

+5점 · 두 번째 조건을 적절한 등식으로 치환할 수 있다.

또한, 문제의 두 번째 조건으로부터 $\displaystyle \log_{3}\left(\sum_{n=1}^{6}a_{n}\right)=\log_{3}\left(a\frac{A^{12}-1}{A^{2}-1}\right)=P+\log_{3}\left(\frac{A^{12}-1}{A^{2}-1}\right)=P+5Q+\log_{3}\left(\frac{1-\frac{1}{A^{12}}}{1-\frac{1}{A^{2}}}\right)$ 을 얻을 수 있다. $\displaystyle 2\log_{3}A=Q$ 가 $\displaystyle 0$ 보다 큰 정수이므로, $\displaystyle 2\log_{3}A\ge1$ 이 되어 $\displaystyle A^{2}\ge3$ 이다. 따라서, $\displaystyle 1<\frac{1-\frac{1}{A^{12}}}{1-\frac{1}{A^{2}}}<\frac{3}{2}$ 이므로 $\displaystyle 0<\log_{3}\left(\frac{1-\frac{1}{A^{12}}}{1-\frac{1}{A^{2}}}\right)<1$ 이 되어, 식 $\displaystyle P+5Q=37$ 을 얻을 수 있다.

+4점 · 순서쌍

\displaystyle (A,B)

를 구할 수 있다.

이 두 식을 연립하면, 해 $\displaystyle (P,Q)=(2,7)$ 을 얻을 수 있다. 이로부터, $\displaystyle A=3^{\frac{7}{2}}=27\sqrt{3}$ 와 $\displaystyle B=\frac{18}{27\sqrt{3}-1}$ 를 얻게 되어, 유일한 순서쌍 $\displaystyle (A,B)=\left(27\sqrt{3},\frac{18}{27\sqrt{3}-1}\right)$ 를 얻을 수 있다.

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