자연계열 2번

조건 $\displaystyle f(Ax)=Af(x)$로부터, 점 $\displaystyle (a,b)$가 그래프 $\displaystyle y=f(x)$의 위에 있다면 점 $\displaystyle (Aa,Ab)$도 역시 그래프 $\displaystyle y=f(x)$의 위에 있어야 한다는 사실을 알 수 있다.

정적분 $\displaystyle \int_{1}^{3}f(x)dx$의 값은 밑변의 길이가 $\displaystyle 2$이고 높이가 $\displaystyle 1$인 삼각형의 넓이이므로, 그 값은 $\displaystyle 1$이다. 따라서, 닫힌 구간 $\displaystyle [3,9]$에서의 정적분 $\displaystyle \int_{3}^{9}f(x)dx$의 값은 밑변의 길이가 $\displaystyle 6$이고 높이가 $\displaystyle 3$인 삼각형의 넓이이므로 그 값은 $\displaystyle 9$이다. 마찬가지로 $\displaystyle \int_{\frac{2}{3}}^{3}f(x)dx=\frac{1}{2}$이므로, $\displaystyle \int_{\frac{2}{3}}^{1}f(x)dx=\frac{1}{18}$이다. 따라서, $\displaystyle \int_{\frac{2}{3}}^{9}f(x)dx=1+9+\frac{1}{18}=\frac{181}{18}$이다.

삼차함수 $\displaystyle g(x)=x^{3}-9x^{2}+18x=x(x-3)(x-6)$는 세 개의 해 $\displaystyle x=0,3,6$을 가지고, $\displaystyle g^{\prime}(x)=3(x^{2}-6x+6)$이므로 $\displaystyle x=3-\sqrt{3}$에서 극댓값, $\displaystyle x=3+\sqrt{3}$에서 극솟값을 가진다.한편, 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프는 정수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle x=2^{k}$에서 극솟값 $\displaystyle 0$을 가지고, $\displaystyle x=\frac{1}{2}(2^{k}+2^{k+1})$에서 극댓값 $\displaystyle x=2^{k-1}$을 가진다.Correction. 극댓값 $\displaystyle 2^{k-1}$ 앞의 $\displaystyle x=$는 불필요하다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.닫힌 구간 $\displaystyle [1,100]$을 $\displaystyle [1,2),[2,4),[4,8),[8,16),[16,32),[32,64),[64,100]$으로 나누어서 생각하자.

(a),(b),(c)를 종합하면, 극솟값은 $\displaystyle 2\times1+2\times2+3\times2+2=14$번 발생한다.

$\displaystyle a_{1}=a=\frac{B(A-1)}{2}$라고 두면, $\displaystyle a_{n}=a(A^{2})^{n-1}$이 된다. $\displaystyle \log_{3}a_{n}=\log_{3}a+2(n-1)\log_{3}A$의 값이 항상 정수이므로, $\displaystyle \log_{3}a=P$와 $\displaystyle 2\log_{3}A=Q$의 값 모두 정수이다.

문제의 첫 번째 조건으로부터$\displaystyle \sum_{n=1}^{6}\log_{3}a_{n}=6\log_{3}a+15\times2\log_{3}A=6P+15Q=117$이므로, 식 $\displaystyle 2P+5Q=39$를 얻을 수 있다.

또한, 문제의 두 번째 조건으로부터$\displaystyle \log_{3}\left(\sum_{n=1}^{6}a_{n}\right)=\log_{3}\left(a\frac{A^{12}-1}{A^{2}-1}\right)=P+\log_{3}\left(\frac{A^{12}-1}{A^{2}-1}\right)=P+5Q+\log_{3}\left(\frac{1-\frac{1}{A^{12}}}{1-\frac{1}{A^{2}}}\right)$을 얻을 수 있다. $\displaystyle 2\log_{3}A=Q$가 $\displaystyle 0$보다 큰 정수이므로, $\displaystyle 2\log_{3}A\ge1$이 되어 $\displaystyle A^{2}\ge3$이다. 따라서, $\displaystyle 1<\frac{1-\frac{1}{A^{12}}}{1-\frac{1}{A^{2}}}<\frac{3}{2}$이므로 $\displaystyle 0<\log_{3}\left(\frac{1-\frac{1}{A^{12}}}{1-\frac{1}{A^{2}}}\right)<1$이 되어, 식 $\displaystyle P+5Q=37$을 얻을 수 있다.

이 두 식을 연립하면, 해 $\displaystyle (P,Q)=(2,7)$을 얻을 수 있다. 이로부터, $\displaystyle A=3^{\frac{7}{2}}=27\sqrt{3}$와 $\displaystyle B=\frac{18}{27\sqrt{3}-1}$를 얻게 되어, 유일한 순서쌍 $\displaystyle (A,B)=\left(27\sqrt{3},\frac{18}{27\sqrt{3}-1}\right)$를 얻을 수 있다.