수리형 1번

집합 $\displaystyle S=\{a=a_{1},a_{2},a_{3}\}$로부터 얻은 등차수열은$\displaystyle a_{1}+a_{2}<a_{1}+a_{3}<a_{2}+a_{3}$이고, 공차를 $\displaystyle d$라고 하면, $\displaystyle d=a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}$가 된다. 따라서, 등차수열은$\displaystyle 2a+d,\,2a+2d,\,2a+3d$가 되고,

이 세수의 합은 $\displaystyle 6(a+d)=600$이 되어 $\displaystyle a+d=100$을 얻게 된다. $\displaystyle a,d\ge1$이므로 만족하는 순서쌍 $\displaystyle (a,d)=(1,99),(2,98),\cdots,(99,1)$이고 가능한 모든 집합 $\displaystyle S$의 개수는 $\displaystyle 99$이다.

집합 $\displaystyle S=\{a=a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\}$로부터 얻은 등차수열의 처음 세 개의 항은$\displaystyle a_{1}+a_{2}<a_{1}+a_{3}<a_{1}+a_{4}$ 혹은 $\displaystyle a_{1}+a_{2}<a_{1}+a_{3}<a_{2}+a_{3}$이다.

먼저, $\displaystyle a_{1}+a_{2}<a_{1}+a_{3}<a_{1}+a_{4}$라고 가정하자. 이때, 등차수열은$\displaystyle a_{1}+a_{2}<a_{1}+a_{3}<a_{1}+a_{4}<a_{2}+a_{3}<a_{2}+a_{4}<a_{3}+a_{4}$가 되고, 공차를 $\displaystyle d$라고 하면 $\displaystyle d=a_{3}-a_{2}=a_{4}-a_{3}$이 된다. 이로부터,$\displaystyle d=(a_{2}+a_{3})-(a_{1}+a_{4})=a_{2}-a_{1}-d$을 얻게 되어, $\displaystyle a_{2}-a_{1}=2d$이다. 따라서, $\displaystyle S=\{a,a+2d,a+3d,a+4d\}$가 되고, 집합 $\displaystyle S$의 원소들로 만들어진 등차수열은 첫째항이 $\displaystyle 2a+2d$이고 공차가 $\displaystyle d$인 등차수열이므로 $\displaystyle \frac{6(4a+9d)}{2}=2025$, 즉 $\displaystyle 4a+9d=675$이고 이를 만족하는 양의 정수의 쌍 $\displaystyle (a,d)$는 $\displaystyle (162,3),(153,7),\cdots(9,71)$으로 총 $\displaystyle 18$개다.

이제, $\displaystyle a_{1}+a_{2}<a_{1}+a_{3}<a_{2}+a_{3}$라고 가정하자. 이때, 등차수열은$\displaystyle a_{1}+a_{2}<a_{1}+a_{3}<a_{2}+a_{3}<a_{1}+a_{4}<a_{2}+a_{4}<a_{3}+a_{4}$이 되고, 위와 같은 방법으로(혹은 대칭성에 의해) $\displaystyle S=\{a,a+d,a+2d,a+4d\}$이고 집합 $\displaystyle S$의 원소들로 만들어진 등차수열은 첫째항이 $\displaystyle 2a+d$이고 공차가 $\displaystyle d$인 등차수열이므로 $\displaystyle \frac{6(4a+7d)}{2}=2025$, 즉 $\displaystyle 4a+7d=675$가 된다. 이를 만족하는 양의 정수의 쌍 $\displaystyle (a,d)$는 $\displaystyle (167,1),(160,5),\cdots,(6,93)$으로 총 $\displaystyle 24$개다. 따라서, 가능한 집합 $\displaystyle S$의 개수는 $\displaystyle 42$개다.

집합 $\displaystyle S=\{a_{1},\cdots,a_{n}\}$로부터 얻은 등차수열은 다음과 같다.$\displaystyle a_{1}+a_{2}<a_{1}+a_{3}<\cdots<a_{n-2}+a_{n}<a_{n-1}+a_{n}$공차를 $\displaystyle d$라 하면, $\displaystyle d=a_{3}-a_{2}=a_{n-1}-a_{n-2}$를 얻을 수 있다. 이로부터$\displaystyle a_{2}+a_{n-1}=(a_{3}-d)+(a_{n-2}+d)=a_{3}+a_{n-2}$가 되어, 만약 $\displaystyle n\ge6$이라면 <제시문 3>의 조건에 모순이다.

이제 $\displaystyle n=5$이라고 가정하면, $\displaystyle a_{1}+a_{2}<a_{1}+a_{3}<\cdots<a_{3}+a_{5}<a_{4}+a_{5}$를 얻는다.이로부터, $\displaystyle d=a_{3}-a_{2}=a_{4}-a_{3}$을 얻게 되고, $\displaystyle (a_{1}+a_{3})+d=a_{1}+(a_{3}+d)=a_{1}+a_{4}$가 되어, $\displaystyle a_{1}+a_{4}$가 $\displaystyle 3$번째 항이 된다. 마찬가지로 $\displaystyle a_{2}+a_{5}$는 $\displaystyle 8$번째 항이 된다.또한, $\displaystyle a_{2}+a_{3}<a_{2}+a_{4}<a_{3}+a_{4}$도 각 항의 차이가 $\displaystyle d$이므로 $\displaystyle a_{1}+a_{5}$는 $\displaystyle 4$번째 항이거나 $\displaystyle 7$번째 항이 된다. 먼저, $\displaystyle a_{1}+a_{5}$가 $\displaystyle 4$번째 항이라고 가정하자. 그러면 등차수열은$\displaystyle \begin{aligned} &a_{1}+a_{2}<a_{1}+a_{3}<a_{1}+a_{4}<a_{1}+a_{5} \\ &<a_{2}+a_{3}<a_{2}+a_{4}<a_{3}+a_{4} \\ &<a_{2}+a_{5}<a_{3}+a_{5}<a_{4}+a_{5} \end{aligned}$이 된다. 이때, $\displaystyle a_{5}-a_{4}=(a_{1}+a_{5})-(a_{1}+a_{4})=d=(a_{1}+a_{3})-(a_{1}+a_{2})=a_{3}-a_{2}$이다. 이로부터 $\displaystyle a_{2}+a_{5}=a_{3}+a_{4}$가 되어, <제시문 3>의 조건에 모순이다.마찬가지로 $\displaystyle a_{1}+a_{5}$가 $\displaystyle 7$번째 항인 경우에도 비슷한 방식으로 모순을 이끌어낼 수 있다.