수리형 3번

선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 위의 임의의 점을 $\displaystyle (x,0)$으로 놓자. 여기서 $\displaystyle 0\le x\le2$이다. 원 $\displaystyle C_{a}$와 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 교점이 생길 필요충분조건은 두 점 $\displaystyle (x,0)$과 $\displaystyle \left(a,\frac{a^{2}}{\sqrt{3}}\right)$ 사이의 거리가 $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}$이 되는 $\displaystyle x$가 $\displaystyle 0$과 $\displaystyle 2$ 사이에 존재한다는 것이다. 두 점 $\displaystyle (x,0)$과 $\displaystyle \left(a,\frac{a^{2}}{\sqrt{3}}\right)$ 사이의 거리의 제곱을 $\displaystyle f(x)$로 두면, $\displaystyle f(x)=(x-a)^{2}+\frac{1}{3}a^{4}$이므로 $\displaystyle f(x)=\frac{4}{3}$이 되는 $\displaystyle x$를 닫힌 구간 $\displaystyle [0,2]$에서 찾도록 하자. 다음 두 가지 경우로 나누어서 생각해보도록 하겠다.

(경우1) $\displaystyle 1\le a\le2$: 이 경우 닫힌 구간 $\displaystyle [0,2]$에서 $\displaystyle f(x)$의 최솟값은 $\displaystyle f(a)=\frac{1}{3}a^{4}$이고 최댓값은 $\displaystyle f(0)=a^{2}+\frac{1}{3}a^{4}$이므로, $\displaystyle f_{1}(a)\ge1$일 필요충분조건은 $\displaystyle \frac{1}{3}a^{4}\le\frac{4}{3}\le a^{2}+\frac{1}{3}a^{4}$임을 알 수 있다. 여기서 $\displaystyle \frac{1}{3}a^{4}\le\frac{4}{3}$를 풀면, $\displaystyle a^{4}-4=(a^{2}+2)(a^{2}-2)\le0$이므로 $\displaystyle -\sqrt{2}\le a\le\sqrt{2}$를 얻는다. 또한 $\displaystyle \frac{4}{3}\le a^{2}+\frac{1}{3}a^{4}$를 풀면, $\displaystyle a^{4}+3a^{2}-4\ge0$이므로 $\displaystyle (a^{2}-1)(a^{2}+4)\ge0$이 되어 $\displaystyle a\ge1$ 또는 $\displaystyle a\le-1$을 얻는다. 이제 $\displaystyle 1\le a\le2$임을 고려하면, $\displaystyle 1\le a\le\sqrt{2}$이어야 한다.(경우2) $\displaystyle a\ge2$: 이 경우 닫힌 구간 $\displaystyle [0,2]$에서 $\displaystyle f(x)$의 최솟값은 $\displaystyle f(2)=(2-a)^{2}+\frac{1}{3}a^{4}$이고 최댓값은 $\displaystyle f(0)=a^{2}+\frac{1}{3}a^{4}$이므로, $\displaystyle f_{1}(a)\ge1$일 필요충분조건은 $\displaystyle (2-a)^{2}+\frac{1}{3}a^{4}\le\frac{4}{3}\le a^{2}+\frac{1}{3}a^{4}$임을 알 수 있다. 여기서 $\displaystyle (2-a)^{2}+\frac{1}{3}a^{4}\le\frac{4}{3}$를 풀면, $\displaystyle a^{4}+3a^{2}-12a+8=(a-1)(a^{3}+a^{2}+4a-8)\le0$이 되는데, 주어진 조건 $\displaystyle a\ge2$로부터 $\displaystyle a-1\ge1$이고, $\displaystyle a^{3}+a^{2}+4a-8=a^{3}-8+a^{2}+4a=(a-2)(a^{2}+2a+4)+a(a+4)\ge12$이므로, 이 경우에 부등식 $\displaystyle (2-a)^{2}+\frac{1}{3}a^{4}\le\frac{4}{3}$를 만족하는 $\displaystyle a$는 존재하지 않는다. 따라서 (경우1)과 (경우2)를 종합적으로 고려하면, $\displaystyle f_{1}(a)\ge1$이기 위한 $\displaystyle a$의 범위는 $\displaystyle 1\le a\le\sqrt{2}$임을 알 수 있다. 아래 그림은 각각 $\displaystyle a=1$인 경우와 $\displaystyle a=\sqrt{2}$인 경우의 그림이다.

[문제 3-ⅰ]의 풀이로부터 $\displaystyle f_{1}(a)\ge1$이기 위한 $\displaystyle a$의 범위는 $\displaystyle 1\le a\le\sqrt{2}$이 됨을 알았다. $\displaystyle 1\le a\le\sqrt{2}$일 때, 닫힌 구간 $\displaystyle [0,2]$에서 이차함수 $\displaystyle f(x)=(x-a)^{2}+\frac{1}{3}a^{4}$의 그래프의 개형을 살펴보면, $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=\frac{4}{3}$의 교점이 $\displaystyle 2$개가 되기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle f(a)<\frac{4}{3}\le f(2)$가 됨을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle f_{1}(a)=2$일 필요충분조건은 $\displaystyle \frac{1}{3}a^{4}<\frac{4}{3}\le(2-a)^{2}+\frac{1}{3}a^{4}$이 된다.

여기서 $\displaystyle \frac{1}{3}a^{4}<\frac{4}{3}$를 풀면, $\displaystyle a^{4}-4=(a^{2}+2)(a^{2}-2)<0$이므로 $\displaystyle -\sqrt{2}<a<\sqrt{2}$를 얻는다. 또한 $\displaystyle \frac{4}{3}\le(2-a)^{2}+\frac{1}{3}a^{4}$을 풀면, $\displaystyle a^{4}+3a^{2}-12a+8=(a-1)(a^{3}+a^{2}+4a-8)\ge0$이 되는데, $\displaystyle a$의 범위인 $\displaystyle 1\le a\le\sqrt{2}$를 감안하면, $\displaystyle a^{3}+a^{2}+4a-8\ge0$이 되어야 한다. 이제 함수 $\displaystyle k(a)=a^{3}+a^{2}+4a-8$이라고 두면, 이것의 도함수는 $\displaystyle 3a^{2}+2a+4$는 항상 양수이므로, 함수 $\displaystyle k(a)$는 증가함수가 됨을 알 수 있다. 또한 $\displaystyle k(1)=-2<0$이고 $\displaystyle k(\sqrt{2})=6\sqrt{2}-6>0$이므로, $\displaystyle k(x)=0$의 실근은 $\displaystyle 1$과 $\displaystyle \sqrt{2}$ 사이에 딱 하나 존재함을 알 수 있다. 이 실근을 $\displaystyle \alpha$라고 두면, $\displaystyle f_{1}(a)=2$일 필요충분조건은 $\displaystyle a=1$ 또는 $\displaystyle \alpha\le a<\sqrt{2}$가 된다. 따라서 $\displaystyle f_{1}(a)=2$인 $\displaystyle 1$보다 큰 $\displaystyle a$의 값들 중에서 가장 작은 값을 $\displaystyle m$이라고 두면, $\displaystyle m=\alpha$가 되고, $\displaystyle m$이 만족하는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$인 정수계수 삼차다항식 중 하나는 $\displaystyle x^{3}+x^{2}+4x-8$임을 알 수 있다. 참고로 아래 그림은 $\displaystyle a=m$인 경우의 그림이다.

선분 $\displaystyle \mathrm{AC}$ 위의 임의의 점을 $\displaystyle (x,\sqrt{3}x)$로 놓자. 여기서 $\displaystyle 0\le x\le1$이다. 원 $\displaystyle C_{a}$와 선분 $\displaystyle \mathrm{AC}$의 교점이 생길 필요충분조건은 두 점 $\displaystyle (x,\sqrt{3}x)$와 $\displaystyle \left(a,\frac{a^{2}}{\sqrt{3}}\right)$ 사이의 거리가 $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}$이 되는 $\displaystyle x$가 $\displaystyle 0$과 $\displaystyle 1$ 사이에 존재한다는 것이다. 두 점 $\displaystyle (x,\sqrt{3}x)$와 $\displaystyle \left(a,\frac{a^{2}}{\sqrt{3}}\right)$ 사이의 거리의 제곱을 $\displaystyle g(x)$로 두면, $\displaystyle g(x)=(x-a)^{2}+\left(\sqrt{3}x-\frac{1}{\sqrt{3}}a^{2}\right)^{2}=4\left(x-\frac{(a+a^{2})}{4}\right)^{2}+\frac{1}{12}a^{2}(a-3)^{2}$이므로 $\displaystyle g(x)=\frac{4}{3}$가 되는 $\displaystyle x$를 닫힌 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 찾도록 하자. $\displaystyle a\ge1$이므로, $\displaystyle \frac{1}{2}\le\frac{a+a^{2}}{4}$이다. 또한 $\displaystyle \frac{a+a^{2}}{4}=1$이 되는 $\displaystyle a$는 $\displaystyle \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$이므로, 다음 두 가지 경우로 나누어서 생각해보도록 하겠다.

(경우1) $\displaystyle 1\le a\le\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$: 이 경우 $\displaystyle \frac{1}{2}\le\frac{a+a^{2}}{4}\le1$이므로, 닫힌 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle g(x)$의 최솟값은 $\displaystyle g\left(\frac{a+a^{2}}{4}\right)=\frac{1}{12}a^{2}(a-3)^{2}$이고 최댓값은 $\displaystyle g(0)=a^{2}+\frac{1}{3}a^{4}$이 된다. 따라서, $\displaystyle f_{2}(a)\ge1$일 필요충분조건은 $\displaystyle \frac{1}{12}a^{2}(a-3)^{2}\le\frac{4}{3}\le a^{2}+\frac{1}{3}a^{4}$임을 알 수 있다. 여기서 $\displaystyle \frac{1}{12}a^{2}(a-3)^{2}\le\frac{4}{3}$를 풀면, $\displaystyle (a^{2}-3a+4)(a^{2}-3a-4)=(a^{2}-3a+4)(a+1)(a-4)\le0$이고, $\displaystyle a^{2}-3a+4$는 항상 양수 값을 가지므로 $\displaystyle -1\le a\le4$를 얻는다. 또한 $\displaystyle \frac{4}{3}\le a^{2}+\frac{1}{3}a^{4}$를 풀면, $\displaystyle a^{4}+3a^{2}-4\ge0$이므로 $\displaystyle (a^{2}-1)(a^{2}+4)\ge0$이 되어 $\displaystyle a\ge1$ 또는 $\displaystyle a\le-1$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle 1\le a\le\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$인 모든 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle f_{2}(a)\ge1$임을 알 수 있다.(경우2) $\displaystyle a\ge\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$: 이 경우 $\displaystyle \frac{a+a^{2}}{4}\ge1$이므로, 닫힌 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle g(x)$의 최솟값은 $\displaystyle g(1)=(1-a)^{2}+\left(\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}a^{2}\right)^{2}$이고 최댓값은 $\displaystyle g(0)=a^{2}+\frac{1}{3}a^{4}$이 된다. 따라서 이 경우에, $\displaystyle f_{2}(a)\ge1$일 필요충분조건은 $\displaystyle (1-a)^{2}+\left(\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}a^{2}\right)^{2}\le\frac{4}{3}\le a^{2}+\frac{1}{3}a^{4}$임을 알 수 있다. 여기서 $\displaystyle (1-a)^{2}+\left(\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}a^{2}\right)^{2}\le\frac{4}{3}$를 풀면, $\displaystyle a^{4}-3a^{2}-6a+8\le0$이 되어 $\displaystyle (a-1)(a-2)(a^{2}+3a+4)\le0$이므로, $\displaystyle 1\le a\le2$가 된다. 또한 $\displaystyle \frac{4}{3}\le a^{2}+\frac{1}{3}a^{4}$를 풀면, $\displaystyle a^{4}+3a^{2}-4\ge0$이므로 $\displaystyle (a^{2}-1)(a^{2}+4)\ge0$이 되어 $\displaystyle a\ge1$ 또는 $\displaystyle a\le-1$을 얻는다. 이제 $\displaystyle a\ge\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$임을 감안하면, $\displaystyle \frac{-1+\sqrt{17}}{2}\le a\le2$임을 알 수 있다.이제 (경우1)과 (경우2)를 종합적으로 고려하면, $\displaystyle f_{2}(a)\ge1$이기 위한 $\displaystyle a$의 범위는 $\displaystyle 1\le a\le2$가 됨을 알 수 있다.

선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 위의 임의의 점을 $\displaystyle (x,\sqrt{3}(2-x))$로 놓자. 여기서 $\displaystyle 1\le x\le2$이다. 원 $\displaystyle C_{a}$와 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$의 교점이 생길 필요충분조건은 두 점 $\displaystyle (x,\sqrt{3}(2-x))$와 $\displaystyle \left(a,\frac{a^{2}}{\sqrt{3}}\right)$ 사이의 거리가 $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}$이 되는 $\displaystyle x$가 $\displaystyle 1$과 $\displaystyle 2$ 사이에 존재한다는 것이다. 두 점 $\displaystyle (x,\sqrt{3}(2-x))$와 $\displaystyle \left(a,\frac{a^{2}}{\sqrt{3}}\right)$ 사이의 거리의 제곱을 이차함수 $\displaystyle h(x)$로 두자. 그러면, $\displaystyle h(x)$는 다음과 같다.$\displaystyle h(x)=(x-a)^{2}+\left(\sqrt{3}(2-x)-\frac{1}{\sqrt{3}}a^{2}\right)^{2}=4\left(x-\frac{(a-a^{2}+6)}{4}\right)^{2}+\frac{1}{12}(a^{2}+3a-6)^{2}$이제 $\displaystyle h(x)=\frac{4}{3}$가 되는 $\displaystyle x$를 닫힌 구간 $\displaystyle [1,2]$에서 찾도록 하자. $\displaystyle a\ge1$이므로, $\displaystyle \frac{a-a^{2}+6}{4}\le\frac{3}{2}$이다. 또한 $\displaystyle \frac{a-a^{2}+6}{4}=1$이 되는 $\displaystyle a$는 $\displaystyle 2$이므로, 다음 두 가지 경우로 나누어서 생각해보도록 하겠다.

(경우1) $\displaystyle 1\le a\le2$: 이 경우 $\displaystyle 1\le\frac{a-a^{2}+6}{4}\le\frac{3}{2}$이므로, 닫힌 구간 $\displaystyle [1,2]$에서 $\displaystyle h(x)$의 최솟값은 $\displaystyle h\left(\frac{a-a^{2}+6}{4}\right)=\frac{1}{12}(a^{2}+3a-6)^{2}$이고 최댓값은 $\displaystyle h(2)=(2-a)^{2}+\frac{1}{3}a^{4}$이 된다. 따라서, $\displaystyle f_{3}(a)\ge1$일 필요충분조건은 $\displaystyle \frac{1}{12}(a^{2}+3a-6)^{2}\le\frac{4}{3}\le(2-a)^{2}+\frac{1}{3}a^{4}$임을 알 수 있다. 여기서 $\displaystyle \frac{1}{12}(a^{2}+3a-6)^{2}\le\frac{4}{3}$를 풀면, $\displaystyle (a^{2}+3a-10)(a^{2}+3a-2)=(a-2)(a+5)(a^{2}+3a-2)\le0$이고, $\displaystyle 1\le a\le2$에서 $\displaystyle (a+5)(a^{2}+3a-2)$는 항상 양수 값을 가지므로 $\displaystyle 1\le a\le2$를 얻는다. 또한 $\displaystyle \frac{4}{3}\le(2-a)^{2}+\frac{1}{3}a^{4}$을 풀면, [문제 3-ⅱ]의 풀이로부터 $\displaystyle a=1$ 또는 $\displaystyle a\ge m$임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle f_{3}(a)\ge1$일 필요충분조건은 $\displaystyle a=1$ 또는 $\displaystyle m\le a\le2$이 된다.(경우2) $\displaystyle a\ge2$: 이 경우 $\displaystyle \frac{a-a^{2}+6}{4}\le1$이므로, 닫힌 구간 $\displaystyle [1,2]$에서 $\displaystyle h(x)$의 최솟값은 $\displaystyle h(1)=\frac{a^{4}}{3}-a^{2}-2a+4$이고 최댓값은 $\displaystyle h(2)=(2-a)^{2}+\frac{1}{3}a^{4}$이 된다. 따라서, $\displaystyle f_{3}(a)\ge1$일 필요충분조건은 $\displaystyle \frac{a^{4}}{3}-a^{2}-2a+4\le\frac{4}{3}\le(2-a)^{2}+\frac{1}{3}a^{4}$임을 알 수 있다. 여기서 $\displaystyle \frac{a^{4}}{3}-a^{2}-2a+4\le\frac{4}{3}$를 풀면, $\displaystyle a^{4}-3a^{2}-6a+8\le0$이 되어 $\displaystyle (a-1)(a-2)(a^{2}+3a+4)\le0$이므로, $\displaystyle 1\le a\le2$가 된다. $\displaystyle a=2$인 경우에, $\displaystyle \frac{4}{3}\le(2-a)^{2}+\frac{1}{3}a^{4}$도 만족되므로, 이 경우에 $\displaystyle a=2$만이 $\displaystyle f_{3}(a)\ge1$이 된다.이제 (경우1)과 (경우2)를 종합적으로 고려하면, $\displaystyle f_{3}(a)\ge1$이기 위한 $\displaystyle a$의 범위는 $\displaystyle a=1$ 또는 $\displaystyle m\le a\le2$가 된다.