수리형 2번

이차방정식 $\displaystyle (1-k^{2})x^{2}-2kx-2=0$이 두 개의 서로 다른 실근을 가져야 하므로,$\displaystyle D=k^{2}+2(1-k^{2})>0$이 성립한다. 따라서, $\displaystyle -\sqrt{2}<k<\sqrt{2}$이고 $\displaystyle k\ne\pm1$이다.

$\displaystyle x_{1}+x_{2}=\frac{2k}{1-k^{2}}$이므로, 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{1},\mathrm{P}_{2}$의 중점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac{k}{1-k^{2}}$이다.문제의 직선이 $\displaystyle y$축과 만나지 않기 위해서는 $\displaystyle \frac{k}{1-k^{2}}=2$, 즉 $\displaystyle 2k^{2}+k-2=0$이 성립해야 하고 $\displaystyle k=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}$이다. 이 두 개의 $\displaystyle k$의 값 모두 위에서 구한 부등식을 만족한다.

이차방정식 $\displaystyle (1-k^{2})x^{2}-2kx-2=0$이 두 개의 서로 다른 양의 실근을 가져야 하므로,$\displaystyle x_{1}+x_{2}=\frac{2k}{1-k^{2}}>0,\ x_{1}x_{2}=\frac{-2}{1-k^{2}}>0,\ D=k^{2}+2(1-k^{2})>0$이 성립한다. 따라서, $\displaystyle -\sqrt{2}<k<-1$이다.

이때, 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{1},\mathrm{P}_{2}$의 중점의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{k}{1-k^{2}},\frac{1}{1-k^{2}}\right)$이므로, $\displaystyle \frac{\frac{1}{1-k^{2}}}{\frac{k}{1-k^{2}}-2}=\frac{c}{-2}$를 얻게 되어$\displaystyle c=\frac{2}{-2k^{2}-k+2}$가 성립한다. $\displaystyle -\sqrt{2}<k<-1$에 대해 $\displaystyle -2+\sqrt{2}<-2k^{2}-k+2<1$이므로, $\displaystyle c<-2-\sqrt{2}$ 혹은 $\displaystyle c>2$이다. 따라서, 문제의 선분은 점 $\displaystyle (0,-2-\sqrt{2})$와 점 $\displaystyle (0,2)$를 연결하므로, 그 길이는 $\displaystyle 4+\sqrt{2}$이다.

[문제 2-ⅱ]와 대칭성으로부터 $\displaystyle k=\sqrt{2}$이다. 즉, 문제에서 주어진 직선의 방정식은 $\displaystyle y=\sqrt{2}x+1$, 이차함수는 $\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^{2}$이고, 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}(-\sqrt{2},-1)$이다.따라서, 직선 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}\mathrm{T}$의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac{1}{\sqrt{2}}x-2$이고 $\displaystyle \mathrm{T}(2\sqrt{2},-4)$이다.이로부터 직선 $\displaystyle \mathrm{TB}$의 방정식은 $\displaystyle y=-2\sqrt{2}x+4$가 되어 $\displaystyle \mathrm{B}\left(\frac{1}{\sqrt{2}},2\right)$이다.

이로부터 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}\mathrm{TB}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{P}_{1}\mathrm{T}}=3\sqrt{3}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{P}_{1}\mathrm{B}}=\frac{3}{2}\sqrt{6}$이므로, 그 넓이는 $\displaystyle \frac{27}{4}\sqrt{2}$이다.

이제 두 영역 중에서 아래에 놓인 부분의 넓이는$\displaystyle \int_{-\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}}\left(-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}x+2\right)dx=\frac{9}{2}\sqrt{2}$이므로 나머지 영역의 넓이는 $\displaystyle \frac{9}{4}\sqrt{2}$이고, 두 영역의 넓이의 비는 $\displaystyle 2:1$이다.