수리형 1번

자연수 $\displaystyle 2^{2025}$의 약수는 $\displaystyle 1,2,4,\cdots,2^{2025}$이고, 여기에 $\displaystyle \log_{2}$를 취했으므로, 집합 $\displaystyle A$는$\displaystyle A=\{0,1,2,\cdots,2025\}$이다.

따라서, $\displaystyle S(A)=\frac{2025\times2026}{2}=3^{4}\cdot5^{2}\cdot1013$이다.

집합 $\displaystyle A$의 원소는 $\displaystyle 0\le a,b\le2025$인 정수 $\displaystyle a,b$에 대하여 $\displaystyle \log_{10}2^{a}5^{b}$의 형태를 가진다.따라서, $\displaystyle S(A)$의 값은 $\displaystyle 10^{2025}$의 모든 약수들의 곱에 $\displaystyle \log_{10}$를 취한 것과 같다.고정된 $\displaystyle a$에 대하여, $\displaystyle 2^{a}$에 의해 나눠지지만 $\displaystyle 2^{a+1}$에 의해서 나눠지지 않는 약수는 $\displaystyle 2^{a},2^{a}5,2^{a}5^{2},\cdots,2^{a}5^{2025}$가 되어 모두 $\displaystyle 2026$개다. 마찬가지로 고정된 $\displaystyle b$에 대하여, $\displaystyle 2^{b}$에 의해 나눠지지만 $\displaystyle 2^{b+1}$에 의해서 나눠지지 않는 약수는 모두 $\displaystyle 2026$개다.Correction. 고정된 $\displaystyle b$에 대한 설명의 $\displaystyle 2^b$와 $\displaystyle 2^{b+1}$은 각각 $\displaystyle 5^b$와 $\displaystyle 5^{b+1}$을 뜻한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서,$\displaystyle \begin{aligned} S(A) &=\log_{10}\left(2^{0\times2026}2^{1\times2026}\cdots2^{2025\times2026}\times5^{0\times2026}5^{1\times2026}\cdots5^{2025\times2026}\right) \\ &=\log_{10}10^{2026(0+1+\cdots+2025)} \\ &=2026\times\frac{2025\times2026}{2} \\ &=2\cdot3^{4}\cdot5^{2}\cdot1013^{2} \end{aligned}$이다.

집합 $\displaystyle A_{1}$를 $\displaystyle 10^{2025}$의 짝수인 약수에 $\displaystyle \log_{10}$를 취한 수들의 집합이라고 하고, 집합 $\displaystyle A_{2}$를 $\displaystyle 10^{2025}$의 홀수인 약수에 $\displaystyle -\log_{10}$를 취한 수들의 집합이라고 하자. 그러면, $\displaystyle A=A_{1}\cup A_{2}$이고 $\displaystyle S(A)=S(A_{1})+S(A_{2})$가 성립한다.집합 $\displaystyle A_{1}$의 원소는 $\displaystyle 1\le a\le2025$와 $\displaystyle 0\le b\le2025$인 정수 $\displaystyle a,b$에 대하여 $\displaystyle \log_{10}2^{a}5^{b}$의 형태를 띠므로, [문제 1-ii]에서와 같은 방법으로$\displaystyle \begin{aligned} S(A_{1}) &=\log_{10}\left(2^{1\times2026}\cdots2^{2025\times2026}\times5^{0\times2025}5^{1\times2025}\cdots5^{2025\times2025}\right) \\ &=\log_{10}2^{2026(1+\cdots+2025)}5^{2025(0+1+\cdots+2025)} \end{aligned}$임을 알 수 있다. 집합 $\displaystyle A_{2}$의 원소는 $\displaystyle 0\le b\le2025$인 정수 $\displaystyle b$에 대하여 $\displaystyle -\log_{10}5^{b}$의 형태를 띠므로,$\displaystyle S(A_{2})=-\log_{10}\left(5^{0+1+\cdots2025}\right)$이다.

따라서,$\displaystyle \begin{aligned} S(A) &=S(A_{1})+S(A_{2}) \\ &=\log_{10}2^{\frac{2026^{2}\times2025}{2}}5^{\frac{2024\times2025\times2026}{2}} \\ &=\left(\frac{2024\times2025\times2026}{2}\right)+\log_{10}2^{2025\times2026} \end{aligned}$이고, $\displaystyle S(A)-2025\cdot2026\cdot\log_{10}2=2^{3}\cdot3^{4}\cdot5^{2}\cdot11\cdot23\cdot1013$이다.