수리형 2번

삼각형 $\displaystyle \mathrm{FBG}$와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{FEG}$는 서로 합동이므로, 사각형 $\displaystyle \mathrm{ABGH}$의 넓이를 네 삼각형 (삼각형 $\displaystyle \mathrm{AFE}$, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{EGH}$, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{FBG}$, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{EFG}$)의 넓이의 합으로 표현하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned} 9b &=2\triangle\mathrm{FBG}+(\triangle\mathrm{AFE}+\triangle\mathrm{EGH})=2\left(\frac{1}{2}ab\right)+\frac{1}{2}(9-a)\overline{\mathrm{AE}}+\frac{1}{2}\cdot9\cdot\overline{\mathrm{EH}} \\ &=ab+\frac{1}{2}\cdot9(\overline{\mathrm{AE}}+\overline{\mathrm{EH}})-\frac{1}{2}\cdot a\cdot\overline{\mathrm{AE}}=ab+\frac{1}{2}\cdot9\cdot b-\frac{1}{2}\cdot a\cdot\sqrt{a^{2}-(9-a)^{2}} \\ &=ab+\frac{9b}{2}-\frac{a\sqrt{9(2a-9)}}{2} \end{aligned}$

삼각형 $\displaystyle \mathrm{AEF}$는 빗변의 길이가 $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}=a$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AF}}=9-a$인 직각삼각형이다. 따라서 $\displaystyle a$는 부등식 $\displaystyle \frac{9}{2}<a<9$를 만족해야하므로, $\displaystyle 2a-9$는 양수임을 알 수 있다. 이제 위에서 구한 식으로부터 $\displaystyle b$를 $\displaystyle a$에 관하여 풀면, $\displaystyle b=\frac{3a}{\sqrt{2a-9}}$를 얻는다.Comment. 제시문의 조건에는 $\displaystyle a=9$도 포함된다. 이때 $\displaystyle b=9$이고 $\displaystyle F=A$이므로 삼각형은 만들어지지 않으며, 넓이 식의 값은 $\displaystyle 0$이다. 넓이의 최댓값에는 영향이 없다.

[문제 2-i]의 예시답안에서, $\displaystyle a$는 부등식 $\displaystyle \frac{9}{2}<a<9$를 만족해야함을 알고 있다. 또한 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$는 [문제 2-i]의 답에서 구한 조건, 즉, $\displaystyle b=\frac{3a}{\sqrt{2a-9}}\le17$을 추가로 만족해야한다. 함수 $\displaystyle f(a)$를 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AEF}$의 넓이의 제곱으로 두자. 그러면, $\displaystyle f(a)=\frac{1}{4}(9-a)^{2}(a^{2}-(9-a)^{2})=\frac{9}{4}(9-a)^{2}(2a-9)$이 되고, $\displaystyle f(a)$의 극값을 조사하여 $\displaystyle f(a)$의 최댓값을 구하도록 하자.Comment. 제시문의 조건에는 $\displaystyle a=9$도 포함된다. 이때 $\displaystyle b=9$이고 $\displaystyle F=A$이므로 삼각형은 만들어지지 않으며, 넓이 식의 값은 $\displaystyle 0$이다. 넓이의 최댓값에는 영향이 없다.

$\displaystyle f(a)$의 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(a)$를 계산하여 정리하면, $\displaystyle f^{\prime}(a)=\frac{9}{2}(9-a)(18-3a)$이고, $\displaystyle a=6$일 때 함수 $\displaystyle f(a)$는 극댓값 $\displaystyle f(6)=\frac{243}{4}$을 갖게 되는데, 위에서 구한 조건으로부터 $\displaystyle b=6\sqrt{3}$이 얻어지고, $\displaystyle (a,b)=(6,6\sqrt{3})$은 $\displaystyle b\le17$을 만족함을 알 수 있다. 또한 $\displaystyle \frac{9}{2}<a<9$일 때, 함수 $\displaystyle f(a)$의 증감을 살펴보면, 극댓값 $\displaystyle f(6)=\frac{243}{4}$이 최댓값이 됨을 알 수 있다. 따라서 삼각형 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AEF}$ 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{2}$이 된다.Correction. ‘삼각형 삼각형’에서 ‘삼각형’이 두 번 쓰였다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

점 $\displaystyle \mathrm{G}$가 점 $\displaystyle \mathrm{G}_{0}$을 출발하여 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$를 따라 점 $\displaystyle \mathrm{G}_{1}$까지 움직일 때, 점 $\displaystyle \mathrm{E}$가 그리는 곡선은 중심이 $\displaystyle \mathrm{F}$이고 반지름이 $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}=a$인 원의 일부이다. 또한 삼각형 $\displaystyle \mathrm{EFG}$는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BFG}$와 서로 합동인 직각삼각형임을 주목하자. 따라서, 점 $\displaystyle \mathrm{G}$가 점 $\displaystyle \mathrm{G}_{0}$일 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{BG}_{0}}=\overline{\mathrm{E}_{0}\mathrm{G}_{0}}=\frac{1}{\sqrt{3}}a$이다. 또한 삼각형 $\displaystyle \mathrm{E}_{0}\mathrm{FG}_{0}$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{E}_{0}\mathrm{F}}=a$, $\displaystyle \overline{\mathrm{E}_{0}\mathrm{G}_{0}}=\frac{1}{\sqrt{3}}a$인 직각삼각형이고, $\displaystyle \angle\mathrm{E}_{0}\mathrm{FB}=\frac{\pi}{3}$임을 알 수 있다.

한편 점 $\displaystyle \mathrm{G}$가 점 $\displaystyle \mathrm{G}_{1}$일 때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{E}_{1}\mathrm{FG}_{1}$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{E}_{1}\mathrm{F}}=a$, $\displaystyle \overline{\mathrm{E}_{1}\mathrm{G}_{1}}=17$인 직각삼각형이 된다. 이때 $\displaystyle \tan(\angle\mathrm{E}_{1}\mathrm{FG}_{1})=\frac{17}{a}$이므로, $\displaystyle \angle\mathrm{E}_{1}\mathrm{FG}_{1}=\theta$이고, $\displaystyle \angle\mathrm{E}_{1}\mathrm{FB}=2\theta$임을 알 수 있다.

따라서 점 $\displaystyle \mathrm{E}$가 될 수 있는 점들의 집합이 이루는 호에 대한 중심각은 $\displaystyle 2\theta-\frac{\pi}{3}$가 되고, $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}=a=\frac{17}{\tan\theta}$이므로, 이 호의 길이는 $\displaystyle \frac{17}{\tan\theta}\left(2\theta-\frac{\pi}{3}\right)$임을 알 수 있다.