수리형 3번

점 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}$의 좌표를 $\displaystyle (-t,t^{2})$라고 하면, 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{2}$의 좌표는 $\displaystyle (2t,4t^{2})$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{2}}=3\sqrt{6}$로부터 $\displaystyle 9t^{2}+9t^{4}=54$를 얻고, $\displaystyle (t^{2}-2)(t^{2}+3)=0$이다. 따라서, $\displaystyle t^{2}=2$이고 $\displaystyle t=\sqrt{2}$이다.이로부터 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}(-\sqrt{2},2)$과 $\displaystyle \mathrm{P}_{2}(2\sqrt{2},8)$을 얻을 수 있고, 이 두 점을 잇는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=\sqrt{2}x+4$이다.

따라서, 도형의 넓이는$\displaystyle \int_{-\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}}(\sqrt{2}x+4-x^{2})dx=9\sqrt{2}$이다.

$\displaystyle k=0$일 때, $\displaystyle \mathrm{P}_{1}(-\sqrt{2},2)$과 $\displaystyle \mathrm{P}_{2}(\sqrt{2},2)$이므로 $\displaystyle \frac{n}{m}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=3-2\sqrt{2}$이다.$\displaystyle k=\frac{1}{2}$일 때, $\displaystyle \mathrm{P}_{1}(-1,1)$과 $\displaystyle \mathrm{P}_{2}\left(\frac{3}{2},\frac{9}{4}\right)$이므로, $\displaystyle \frac{n}{m}=\frac{1}{4}$이다.

이차곡선 $\displaystyle y=x^{2}$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,x^{2})$에 대하여$\displaystyle f(x)=\overline{\mathrm{PM}}^{2}=(x-1)^{2}+(x^{2}-2)^{2}=x^{4}-3x^{2}-2x+5$라고 하면, $\displaystyle f^{\prime}(x)=2(x+1)(2x^{2}-2x-1)=0$의 해는 $\displaystyle x=-1,\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{1+\sqrt{3}}{2}$가 된다.따라서, 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle \left[-\sqrt{2},-1\right]$에서는 감소하고, $\displaystyle \left[\sqrt{2},\frac{3}{2}\right]$에서는 증가한다.이로부터 비율 $\displaystyle \frac{n}{m}$의 값은 $\displaystyle 3-2\sqrt{2}$부터 $\displaystyle \frac{1}{4}$까지 증가하게 된다. 즉, $\displaystyle 3-2\sqrt{2}\le\frac{n}{m}\le\frac{1}{4}$이다.

선분 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{2}$를 $\displaystyle 1:1$로 내분하는 점을 $\displaystyle \mathrm{M}$이라 하면, 점 $\displaystyle \mathrm{M}$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2}\right)$이다.이때, $\displaystyle a=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$라고 두면, $\displaystyle \frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2}=a^{2}+\frac{1}{4}$가 된다.따라서, 점 $\displaystyle \mathrm{M}$은 이차곡선 $\displaystyle y=x^{2}+\frac{1}{4}$ 위에 있다.

역으로, 이차곡선 $\displaystyle y=x^{2}+\frac{1}{4}$ 위의 한 점 $\displaystyle \left(a,a^{2}+\frac{1}{4}\right)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=2ax-a^{2}+\frac{1}{4}$이고, 접선과 곡선 $\displaystyle y=x^{2}$이 만나는 두 점의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle x_{1},x_{2}\ (x_{1}<x_{2})$는$\displaystyle x^{2}=y=2ax-a^{2}+\frac{1}{4}$의 해가 되어, $\displaystyle x_{2}-x_{1}=1$을 만족하게 된다. 즉, 문제에 주어진 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{2}$는 이차곡선 $\displaystyle y=x^{2}+\frac{1}{4}$의 접선의 일부이다.

$\displaystyle x_{1}=1$일 때, 직선 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{2}$의 방정식은 $\displaystyle y=3x-2$이고 $\displaystyle \mathrm{M}\left(\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right)$이므로, 도형의 넓이는$\displaystyle \int_{-\frac{1}{2}}^{0}\left(\frac{1}{4}-x^{2}\right)dx+\int_{0}^{\frac{3}{2}}\left(\left(x^{2}+\frac{1}{4}\right)-x^{2}\right)dx+\int_{\frac{3}{2}}^{2}(3x-2-x^{2})dx=\frac{13}{24}$이다.