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성균관대 2027학년도 모의 수리형 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/skku/2027mo/suri_1

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문제

[문제 1]

다음 <제시문1> ~ <제시문3>을 읽고 [문제 1-ⅰ] ~ [문제 1-ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

<제시문1>사건 A\displaystyle A가 일어나는 경우의 수가 m\displaystyle m이고 그 각각에 대하여 사건 B\displaystyle B가 일어나는 경우의 수가 n\displaystyle n일 때, 두 사건 A,B\displaystyle A,B가 동시에 일어나는 경우의 수는 m×n\displaystyle m\times n이다.

<제시문2>자연수의 거듭제곱의 합은 다음과 같다.∑k=1nk=n(n+1)2∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6∑k=1nk3={n(n+1)2}2\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}k &=\frac{n(n+1)}{2} \\ \sum_{k=1}^{n}k^{2} &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ \sum_{k=1}^{n}k^{3} &=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^{2} \end{aligned}

<제시문3>좌표평면 위에 직선 ℓ\displaystyle \ell이 놓여있다. 여기에 추가로 3\displaystyle 3 이상인 자연수 n\displaystyle n에 대해 서로 다른 n\displaystyle n개의 직선을 좌표평면 위에 그리자. 단, 이 n+1\displaystyle n+1개의 직선 중 어느 3\displaystyle 3개의 직선도 한 개의 점을 동시에 지나지 않는다. 이 n+1\displaystyle n+1개의 서로 다른 직선이 만나는 교점을 세 꼭짓점으로 하는 크고 작은 삼각형 여러 개를 만들 수 있다. 이때, 만들 수 있는 크고 작은 삼각형 중에서 한 변이 직선 ℓ\displaystyle \ell 위에 놓여 있는 정삼각형의 최대 개수를 an\displaystyle a_{n}, 그 다음으로 가능한 최대 개수를 bn\displaystyle b_{n}이라고 하자. 예를 들어, n=3\displaystyle n=3일 때, a3=2\displaystyle a_{3}=2이고 b3=1\displaystyle b_{3}=1이다.

[문제 1-ⅰ] <제시문3>에서 ∑n=350an\displaystyle \sum_{n=3}^{50}a_{n}의 값을 구하고, 그 이유를 논하시오. (10점)

[문제 1-ⅱ] <제시문3>에서 ∑n=350bn\displaystyle \sum_{n=3}^{50}b_{n}의 값을 구하고, 그 이유를 논하시오. (10점)

[문제 1-ⅲ] <제시문3>에서 ∑n=3Nlog⁡2an≤log⁡29+∑n=3Nlog⁡2bn\displaystyle \sum_{n=3}^{N}\log_{2}a_{n}\le\log_{2}9+\sum_{n=3}^{N}\log_{2}b_{n}을 만족하는 3\displaystyle 3 이상인 자연수 N\displaystyle N의 개수를 구하고, 그 이유를 논하시오. (10점)

심화 홀수항과 짝수항의 분리

관련 개념강의 준비중

성균관대 2027학년도 모의 수리형 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/skku/2027mo/suri_1

[문제 1-ⅰ]

+5점 · an\displaystyle a_{n}을 올바르게 구할 수 있다.

편의상 직선 ℓ\displaystyle \ell을 x\displaystyle x축이라 가정할 때, 정삼각형의 개수가 최대가 되기 위해서는 n\displaystyle n개의 직선이 x\displaystyle x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 60∘\displaystyle 60^{\circ} 혹은 120∘\displaystyle 120^{\circ}를 이루어야 한다. 즉, 직선의 기울기가 3\displaystyle \sqrt{3} 혹은 −3\displaystyle -\sqrt{3}이어야 한다. 기울기가 3\displaystyle \sqrt{3}인 직선의 개수를 k\displaystyle k라 할 때, 기울기가 −3\displaystyle -\sqrt{3}인 직선의 개수는 n−k\displaystyle n-k이다. 이때, 만들어지는 크고 작은 정삼각형의 개수는 k(n−k)\displaystyle k(n-k)이고 이 값은 ∣k−(n−k)∣\displaystyle |k-(n-k)|이 최소일 때 얻어진다. 따라서, 자연수 m\displaystyle m에 대해an={m2(n=2m일 때, m≥2)m(m+1)(n=2m+1일 때, m≥1)\displaystyle a_{n}=\begin{cases}m^{2} & (n=2m\text{일 때},\ m\ge2) \\ m(m+1) & (n=2m+1\text{일 때},\ m\ge1)\end{cases}이다.

+5점 · ∑n=350an\displaystyle \sum_{n=3}^{50}a_{n}의 값을 올바르게 구할 수 있다.

이로부터∑n=350an=∑m=225(a2m−1+a2m)=∑m=225{m(m−1)+m2}=∑m=225(2m2−m)=10724\displaystyle \sum_{n=3}^{50}a_{n}=\sum_{m=2}^{25}(a_{2m-1}+a_{2m})=\sum_{m=2}^{25}\{m(m-1)+m^{2}\}=\sum_{m=2}^{25}(2m^{2}-m)=10724이다.

[문제 1-ⅱ]

+5점 · bn\displaystyle b_{n}을 올바르게 구할 수 있다.

[문제 1-ⅰ]에서와 같은 방법으로 직선 ℓ\displaystyle \ell을 x\displaystyle x축이라 가정할 때, 정삼각형의 개수가 다음으로 최대가 되기 위해서는 다음의 두가지 경우 중 하나가 성립해야 한다.(a) n\displaystyle n개 직선의 기울기가 3\displaystyle \sqrt{3} 혹은 −3\displaystyle -\sqrt{3}이다.(b) n\displaystyle n개의 직선 중 오직 n−1\displaystyle n-1개 직선만의 기울기가 3\displaystyle \sqrt{3} 혹은 −3\displaystyle -\sqrt{3}이다.

우선 n=2m (m≥2)\displaystyle n=2m\,(m\ge2)이 짝수라고 가정하자. (a)의 경우, 정삼각형의 개수가 두 번째로 최대가 되는 방법은, 기울기가 3\displaystyle \sqrt{3}인 직선의 수와 기울기가 −3\displaystyle -\sqrt{3}인 직선의 수의 차이가 두 번째로 최소인 2\displaystyle 2인 경우이고, 이때 정삼각형의 개수는 (m+1)(m−1)=m2−1\displaystyle (m+1)(m-1)=m^{2}-1이다. (b)의 경우, 정삼각형의 개수는 an−1=a2m−1=m(m−1)\displaystyle a_{n-1}=a_{2m-1}=m(m-1)이다. 따라서, b2m=m2−1\displaystyle b_{2m}=m^{2}-1이다.

이제, n=2m+1 (m≥1)\displaystyle n=2m+1\,(m\ge1)이 홀수라고 가정하자. m=1\displaystyle m=1인 경우, b3=1\displaystyle b_{3}=1이다. 따라서, m≥2\displaystyle m\ge2이라고 가정하자. (a)의 경우, 정삼각형의 개수가 두 번째로 최대가 되는 방법은, 기울기가 3\displaystyle \sqrt{3}인 직선의 수와 기울기가 −3\displaystyle -\sqrt{3}인 직선의 수의 차이가 두 번째로 최소인 3\displaystyle 3인 경우이고, 이때 정삼각형의 개수는 (m+2)(m−1)=m2+m−2\displaystyle (m+2)(m-1)=m^{2}+m-2이다. (b)의 경우, 정삼각형의 개수는 an−1=m2\displaystyle a_{n-1}=m^{2}이다. 따라서, b2m+1={m2+m−2(m≥2)1(m=1)\displaystyle b_{2m+1}=\begin{cases}m^{2}+m-2 & (m\ge2) \\ 1 & (m=1)\end{cases} 이다.

+5점 · ∑n=350bn\displaystyle \sum_{n=3}^{50}b_{n}의 값을 올바르게 구할 수 있다.

이를 정리하면,∑n=350bn=b3+∑m=224(b2m+b2m+1)+b50=252+∑m=224(2m2+m−3)=10653\displaystyle \sum_{n=3}^{50}b_{n}=b_{3}+\sum_{m=2}^{24}(b_{2m}+b_{2m+1})+b_{50}=25^{2}+\sum_{m=2}^{24}(2m^{2}+m-3)=10653이다.

[문제 1-ⅲ]

주어진 부등식을 정리하면 a3⋅a4⋅⋯⋅aNb3⋅b4⋅⋯⋅bN≤9\displaystyle \frac{a_{3}\cdot a_{4}\cdot\cdots\cdot a_{N}}{b_{3}\cdot b_{4}\cdot\cdots\cdot b_{N}}\le9이다.

+5점 · 가능한 짝수 N\displaystyle N의 개수를 올바르게 구할 수 있다.

먼저 N=2m (m≥2)\displaystyle N=2m\,(m\ge2)이 짝수라고 가정하면,a3⋅a4⋅⋯⋅aNb3⋅b4⋅⋯⋅bN=(a4⋅a6⋅⋯⋅a2mb4⋅b6⋅⋯⋅b2m)×(a3⋅a5⋅⋯⋅a2m−1b3⋅b5⋅⋯⋅b2m−1)=2mm+1×6(m−1)m+1=12m(m−1)(m+1)2\displaystyle \begin{aligned} \frac{a_{3}\cdot a_{4}\cdot\cdots\cdot a_{N}}{b_{3}\cdot b_{4}\cdot\cdots\cdot b_{N}} &=\left(\frac{a_{4}\cdot a_{6}\cdot\cdots\cdot a_{2m}}{b_{4}\cdot b_{6}\cdot\cdots\cdot b_{2m}}\right)\times\left(\frac{a_{3}\cdot a_{5}\cdot\cdots\cdot a_{2m-1}}{b_{3}\cdot b_{5}\cdot\cdots\cdot b_{2m-1}}\right) \\ &=\frac{2m}{m+1}\times\frac{6(m-1)}{m+1}=\frac{12m(m-1)}{(m+1)^{2}} \end{aligned}이고, 12m(m−1)(m+1)2≤9\displaystyle \frac{12m(m-1)}{(m+1)^{2}}\le9로부터 m2−10m−3≤0\displaystyle m^{2}-10m-3\le0임을 알 수 있다. 따라서, m=2,3,⋯ ,10\displaystyle m=2,3,\cdots,10으로 9\displaystyle 9개의 짝수가 가능하다.

+5점 · 가능한 홀수 N\displaystyle N의 개수를 올바르게 구할 수 있다.

이제 N=2m+1 (m≥1)\displaystyle N=2m+1\,(m\ge1)이 홀수라고 가정하면,a3⋅a4⋅⋯⋅a2m+1b3⋅b4⋅⋯⋅b2m+1=(2mm+1)×(6mm+2)=12m2(m+1)(m+2)\displaystyle \frac{a_{3}\cdot a_{4}\cdot\cdots\cdot a_{2m+1}}{b_{3}\cdot b_{4}\cdot\cdots\cdot b_{2m+1}}=\left(\frac{2m}{m+1}\right)\times\left(\frac{6m}{m+2}\right)=\frac{12m^{2}}{(m+1)(m+2)}이고, 12m2(m+1)(m+2)≤9\displaystyle \frac{12m^{2}}{(m+1)(m+2)}\le9로부터 m2−9m−6≤0\displaystyle m^{2}-9m-6\le0임을 알 수 있다. 따라서, m=1,2,⋯ ,9\displaystyle m=1,2,\cdots,9으로 9\displaystyle 9개의 홀수가 가능하다.

이를 종합하면, 모두 18\displaystyle 18개의 자연수가 가능하다.

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