수리형 1번

편의상 직선 $\displaystyle \ell$을 $\displaystyle x$축이라 가정할 때, 정삼각형의 개수가 최대가 되기 위해서는 $\displaystyle n$개의 직선이 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\displaystyle 60^{\circ}$ 혹은 $\displaystyle 120^{\circ}$를 이루어야 한다. 즉, 직선의 기울기가 $\displaystyle \sqrt{3}$ 혹은 $\displaystyle -\sqrt{3}$이어야 한다. 기울기가 $\displaystyle \sqrt{3}$인 직선의 개수를 $\displaystyle k$라 할 때, 기울기가 $\displaystyle -\sqrt{3}$인 직선의 개수는 $\displaystyle n-k$이다. 이때, 만들어지는 크고 작은 정삼각형의 개수는 $\displaystyle k(n-k)$이고 이 값은 $\displaystyle |k-(n-k)|$이 최소일 때 얻어진다. 따라서, 자연수 $\displaystyle m$에 대해$\displaystyle a_{n}=\begin{cases}m^{2} & (n=2m\text{일 때},\ m\ge2) \\ m(m+1) & (n=2m+1\text{일 때},\ m\ge1)\end{cases}$이다.

이로부터$\displaystyle \sum_{n=3}^{50}a_{n}=\sum_{m=2}^{25}(a_{2m-1}+a_{2m})=\sum_{m=2}^{25}\{m(m-1)+m^{2}\}=\sum_{m=2}^{25}(2m^{2}-m)=10724$이다.

[문제 1-ⅰ]에서와 같은 방법으로 직선 $\displaystyle \ell$을 $\displaystyle x$축이라 가정할 때, 정삼각형의 개수가 다음으로 최대가 되기 위해서는 다음의 두가지 경우 중 하나가 성립해야 한다.(a) $\displaystyle n$개 직선의 기울기가 $\displaystyle \sqrt{3}$ 혹은 $\displaystyle -\sqrt{3}$이다.(b) $\displaystyle n$개의 직선 중 오직 $\displaystyle n-1$개 직선만의 기울기가 $\displaystyle \sqrt{3}$ 혹은 $\displaystyle -\sqrt{3}$이다.

이를 정리하면,$\displaystyle \sum_{n=3}^{50}b_{n}=b_{3}+\sum_{m=2}^{24}(b_{2m}+b_{2m+1})+b_{50}=25^{2}+\sum_{m=2}^{24}(2m^{2}+m-3)=10653$이다.

먼저 $\displaystyle N=2m\,(m\ge2)$이 짝수라고 가정하면,$\displaystyle \begin{aligned} \frac{a_{3}\cdot a_{4}\cdot\cdots\cdot a_{N}}{b_{3}\cdot b_{4}\cdot\cdots\cdot b_{N}} &=\left(\frac{a_{4}\cdot a_{6}\cdot\cdots\cdot a_{2m}}{b_{4}\cdot b_{6}\cdot\cdots\cdot b_{2m}}\right)\times\left(\frac{a_{3}\cdot a_{5}\cdot\cdots\cdot a_{2m-1}}{b_{3}\cdot b_{5}\cdot\cdots\cdot b_{2m-1}}\right) \\ &=\frac{2m}{m+1}\times\frac{6(m-1)}{m+1}=\frac{12m(m-1)}{(m+1)^{2}} \end{aligned}$이고, $\displaystyle \frac{12m(m-1)}{(m+1)^{2}}\le9$로부터 $\displaystyle m^{2}-10m-3\le0$임을 알 수 있다. 따라서, $\displaystyle m=2,3,\cdots,10$으로 $\displaystyle 9$개의 짝수가 가능하다.

이제 $\displaystyle N=2m+1\,(m\ge1)$이 홀수라고 가정하면,$\displaystyle \frac{a_{3}\cdot a_{4}\cdot\cdots\cdot a_{2m+1}}{b_{3}\cdot b_{4}\cdot\cdots\cdot b_{2m+1}}=\left(\frac{2m}{m+1}\right)\times\left(\frac{6m}{m+2}\right)=\frac{12m^{2}}{(m+1)(m+2)}$이고, $\displaystyle \frac{12m^{2}}{(m+1)(m+2)}\le9$로부터 $\displaystyle m^{2}-9m-6\le0$임을 알 수 있다. 따라서, $\displaystyle m=1,2,\cdots,9$으로 $\displaystyle 9$개의 홀수가 가능하다.