수리형 2번

점 $\displaystyle \mathrm{A}$의 좌표는 $\displaystyle (0,-1)$이고 점 $\displaystyle \mathrm{B}$의 좌표는 $\displaystyle (3,-5)$이므로 직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 기울기는 $\displaystyle -\frac{4}{3}$이다. 따라서 직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac{4}{3}x-1$이다.

<제시문3>에 의해, 곡선 $\displaystyle y=F(x)$의 접선의 기울기는 항상 $\displaystyle -1$ 이상 $\displaystyle 1$ 이하이다. 즉 모든 점 $\displaystyle \mathrm{C}$에서 접선의 기울기 $\displaystyle m$은 $\displaystyle -1\le m\le1$을 만족한다.그런데 직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 기울기는 $\displaystyle -\frac{4}{3}$이므로, 접선과 직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$는 서로 평행할 수 없다. 따라서 임의의 점 $\displaystyle \mathrm{C}$에서 그은 접선은 직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 정확히 한 점에서 만나며, 점 $\displaystyle \mathrm{D}$는 항상 유일하게 존재한다.

이제 점 $\displaystyle \mathrm{C}$의 좌표를 $\displaystyle (n,0)$($\displaystyle n$은 정수)라고 하자. $\displaystyle F(n)=0$이고 $\displaystyle F^{\prime}(n)=1$이므로, $\displaystyle \mathrm{C}$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=x-n$이다. 이것과 직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 방정식을 연립하면 $\displaystyle x=\frac{3(n-1)}{7}$이므로 $\displaystyle \mathrm{D}$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac{3(n-1)}{7}$이다. 다시 $\displaystyle y=x-n$에 대입하면 $\displaystyle \mathrm{D}$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle y=-\frac{4n+3}{7}$이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{D}$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{3(n-1)}{7},-\frac{4n+3}{7}\right)$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{D}$가 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$를 $\displaystyle 2:1$로 외분한다는 것은 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}:\overline{\mathrm{DB}}=2:1$이고 $\displaystyle \mathrm{D}$가 $\displaystyle \mathrm{B}$쪽 바깥에 있다는 뜻이다. 따라서 외분점의 좌표는 $\displaystyle (6,-9)$이다.

이제 점 $\displaystyle \mathrm{C}$의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle c=n+u$ ($\displaystyle n$은 정수, $\displaystyle 0\le u<1$)라 두고, $\displaystyle 0\le c\le2027$인 경우만 따져 보자.① $\displaystyle 0\le u\le\frac{1}{2}$인 경우:이때 점 $\displaystyle \mathrm{C}$의 좌표는 $\displaystyle (n+u,-2u^{2}+u)$, 접선의 기울기는 $\displaystyle 1-4u$이다. 접선이 $\displaystyle \mathrm{D}(6,-9)$를 지나야 하므로 $\displaystyle -9=(1-4u)(6-n-u)+(-2u^{2}+u)$, 즉 $\displaystyle 2u^{2}+(4n-24)u-n+15=0$을 얻는다. $\displaystyle g_{1}(u)=2u^{2}+(4n-24)u-n+15$라 하면, $\displaystyle g_{1}^{\prime}(u)=4(u+n-6)$이다. $\displaystyle 0\le n\le5$일 때 $\displaystyle g_{1}$은 열린구간 $\displaystyle \left(0,\frac{1}{2}\right)$에서 감소하고, $\displaystyle n\ge6$일 때 열린구간 $\displaystyle \left(0,\frac{1}{2}\right)$에서 증가한다. $\displaystyle g_{1}(0)=15-n$이고 $\displaystyle g_{1}\left(\frac{1}{2}\right)=n+\frac{7}{2}$이다. 따라서 $\displaystyle 0\le n\le14$에서는 두 끝값이 모두 양수이므로 해가 없다. $\displaystyle n=15$에서는 $\displaystyle u=0$이 유일한 해가 되고, $\displaystyle n=16,17,\cdots,2026$에서는 $\displaystyle g_{1}(0)<0<g_{1}\left(\frac{1}{2}\right)$이므로 <제시문4>에 의해서 해가 정확히 하나 존재한다. 또한 $\displaystyle c=2027$인 경우는 $\displaystyle n=2027$, $\displaystyle u=0$인 경우이고 $\displaystyle g_{1}(0)<0$이므로 해가 되지 않는다.② $\displaystyle \frac{1}{2}\le u<1$인 경우:이때 점 $\displaystyle \mathrm{C}$의 좌표는 $\displaystyle (n+u,2u^{2}-3u+1)$, 접선의 기울기는 $\displaystyle 4u-3$이다. 같은 방식으로 $\displaystyle -9=(2u^{2}-3u+1)+(4u-3)(6-n-u)$, 즉 $\displaystyle 2u^{2}+(4n-24)u-3n+8=0$을 얻는다. $\displaystyle g_{2}(u)=2u^{2}+(4n-24)u-3n+8$이라 하면 $\displaystyle g_{2}^{\prime}(u)=4(u+n-6)$이다. $\displaystyle 0\le n\le5$일 때 $\displaystyle g_{2}$는 열린구간 $\displaystyle \left(\frac{1}{2},1\right)$에서 감소하고, $\displaystyle n\ge6$일 때 열린구간 $\displaystyle \left(\frac{1}{2},1\right)$에서 증가한다. $\displaystyle g_{2}\left(\frac{1}{2}\right)=-\left(n+\frac{7}{2}\right)$이고 $\displaystyle g_{2}(1)=n-14$이다. 따라서 $\displaystyle 0\le n\le13$에서는 해가 없고, $\displaystyle n=14$에서는 $\displaystyle u=1$이 되어 구간에서 제외된다. $\displaystyle n=15,16,\cdots,2026$에서는 $\displaystyle g_{2}\left(\frac{1}{2}\right)<0<g_{2}(1)$이므로 <제시문4>에 의해서 해가 정확히 하나 존재한다.

결국 각 정수 $\displaystyle n=15,16,\cdots,2026$에 대하여 구간 $\displaystyle \left[n,n+\frac{1}{2}\right]$에서 $\displaystyle 1$개, 구간 $\displaystyle \left[n+\frac{1}{2},n+1\right)$에서 $\displaystyle 1$개의 점 $\displaystyle \mathrm{C}$가 존재한다. 따라서 가능한 점 $\displaystyle \mathrm{C}$의 개수는 $\displaystyle 2\times(2026-15+1)=4024$개다.

점 $\displaystyle \mathrm{C}$가 한 주기 $\displaystyle n\le x\le n+1$ ($\displaystyle n$은 정수)에서 움직일 때, 먼저 세 특수한 위치에 대응하는 점 $\displaystyle \mathrm{D}$를 다음과 같이 잡자. $\displaystyle x=n$에서의 점 $\displaystyle \mathrm{D}$를 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}$, $\displaystyle x=n+\frac{1}{2}$에서의 점 $\displaystyle \mathrm{D}$를 $\displaystyle \mathrm{M}_{n}$, $\displaystyle x=n+1$에서의 점 $\displaystyle \mathrm{D}$를 $\displaystyle \mathrm{Q}_{n}$이라고 하자. $\displaystyle x=n$, $\displaystyle x=n+\frac{1}{2}$, $\displaystyle x=n+1$에서의 접선은 각각 $\displaystyle y=x-n$, $\displaystyle y=-x+n+\frac{1}{2}$, $\displaystyle y=x-n-1$이므로, 이들을 직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 연립하면 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}\left(\frac{3(n-1)}{7},-\frac{4n+3}{7}\right)$, $\displaystyle \mathrm{M}_{n}\left(-3n-\frac{9}{2},4n+5\right)$, $\displaystyle \mathrm{Q}_{n}\left(\frac{3n}{7},-\frac{4n+7}{7}\right)$을 얻는다. 이제 점 $\displaystyle \mathrm{D}$의 움직임을 각 주기를 반으로 나눈 두 구간별로 살펴보자. 편의상 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle \alpha(\mathrm{P})$라 하자.① $\displaystyle n\le x\le n+\frac{1}{2}$: $\displaystyle \alpha(\mathrm{C})=n+u\ \left(0\le u\le\frac{1}{2}\right)$라 두면 $\displaystyle \alpha(\mathrm{D})=\frac{3(4nu-n+2u^{2}+1)}{12u-7}$이다. $\displaystyle \alpha(\mathrm{M}_{n})=-3n-\frac{9}{2}$, $\displaystyle \alpha(\mathrm{Q}_{n})=\frac{3n}{7}$임을 이용하면, $\displaystyle \alpha(\mathrm{D})-\alpha(\mathrm{M}_{n})=\frac{3(1-2u)(16n+2u+19)}{2(7-12u)}\ge0$이고, $\displaystyle \alpha(\mathrm{Q}_{n})-\alpha(\mathrm{D})=\frac{3(14u^{2}+16nu+7)}{7(7-12u)}\ge0$이다. 따라서 $\displaystyle 0\le u\le\frac{1}{2}$에서 얻는 모든 점 $\displaystyle \mathrm{D}$는 선분 $\displaystyle \mathrm{M}_{n}\mathrm{Q}_{n}$ 위에 있다.② $\displaystyle n+\frac{1}{2}\le x\le n+1$: $\displaystyle \alpha(\mathrm{C})=n+u\ \left(\frac{1}{2}\le u\le1\right)$이라 두면 $\displaystyle \alpha(\mathrm{D})=\frac{3(4nu-3n+2u^{2}-2)}{12u-5}$이다. $\displaystyle \alpha(\mathrm{D})-\alpha(\mathrm{M}_{n})=\frac{3(2u-1)(16n+2u+19)}{2(12u-5)}\ge0$이고 $\displaystyle \alpha(\mathrm{Q}_{n})-\alpha(\mathrm{D})=\frac{6(1-u)(8n+7u+7)}{7(12u-5)}\ge0$이므로 항상 점 $\displaystyle \mathrm{D}$는 선분 $\displaystyle \mathrm{M}_{n}\mathrm{Q}_{n}$ 위에 있다. 한편 $\displaystyle u=\frac{1}{2}$일 때 $\displaystyle \alpha(\mathrm{D})=\alpha(\mathrm{M}_{n})$, $\displaystyle u=1$일 때 $\displaystyle \alpha(\mathrm{D})=\alpha(\mathrm{Q}_{n})$이다. 또 고정된 $\displaystyle n$에 대해, $\displaystyle \alpha(\mathrm{D})$를 나타내는 함수를 변수 $\displaystyle u$에 관한 함수로 보면, 이 함수는 닫힌구간 $\displaystyle \left[\frac{1}{2},1\right]$에서 연속이므로, $\displaystyle n+\frac{1}{2}\le x\le n+1$일 때, 점 $\displaystyle \mathrm{D}$가 나타내는 도형은 선분 $\displaystyle \mathrm{M}_{n}\mathrm{Q}_{n}$ 전체이다. $\displaystyle n\le x\le n+\frac{1}{2}$일 때 점 $\displaystyle \mathrm{D}$가 나타내는 도형 또한 모두 이 선분 위에 있으므로, 한 주기에서 점 $\displaystyle \mathrm{D}$가 나타내는 도형은 바로 선분 $\displaystyle \mathrm{M}_{n}\mathrm{Q}_{n}$이다.

또한 $\displaystyle n$이 $\displaystyle 1$만큼 증가할 때, $\displaystyle \alpha(\mathrm{M}_{n+1})=\alpha(\mathrm{M}_{n})-3$, $\displaystyle \alpha(\mathrm{Q}_{n+1})=\alpha(\mathrm{Q}_{n})+\frac{3}{7}$이므로, 선분 $\displaystyle \mathrm{M}_{n}\mathrm{Q}_{n}$은 다음 주기의 선분 $\displaystyle \mathrm{M}_{n+1}\mathrm{Q}_{n+1}$ 안에 완전히 포함된다. 따라서 $\displaystyle 0\le x\le2027$에서 점 $\displaystyle \mathrm{D}$가 나타내는 도형은 마지막 주기에서 얻는 선분 $\displaystyle \mathrm{M}_{2026}\mathrm{Q}_{2026}$ 하나이다.

이제 이 선분의 길이를 구하자. 직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 기울기는 $\displaystyle -\frac{4}{3}$이고 $\displaystyle \alpha(\mathrm{Q}_{n})-\alpha(\mathrm{M}_{n})=\frac{48n+63}{14}$이므로, $\displaystyle \overline{\mathrm{M}_{n}\mathrm{Q}_{n}}=\frac{5}{3}\cdot\frac{48n+63}{14}=\frac{5(16n+21)}{14}$을 얻는다. 이제 $\displaystyle n=2026$을 대입하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{M}_{2026}\mathrm{Q}_{2026}}=\frac{162185}{14}$이 된다. 따라서 구하는 선분의 길이는 $\displaystyle \frac{162185}{14}$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{C}$가 $\displaystyle n\le x\le n+\frac{1}{2}$ ($\displaystyle n$은 정수)에서 움직일 때 선분 $\displaystyle \mathrm{CD}$가 만드는 도형을 $\displaystyle R_{n}$라 하고, $\displaystyle n+\frac{1}{2}\le x\le n+1$에서 움직일 때 만드는 도형을 $\displaystyle T_{n}$이라 하자.① 먼저 도형 $\displaystyle R_{n}$이 도형 $\displaystyle T_{n}$에 포함됨을 보이자.$\displaystyle n\le x\le n+\frac{1}{2}$에서의 곡선은 $\displaystyle y=-2(x-n)^{2}+(x-n)$이고 $\displaystyle x=n+\frac{1}{2}$에서의 접선은 $\displaystyle y=-x+n+\frac{1}{2}$이다. 이 곡선과 접선의 위치관계를 살펴보자. $\displaystyle n\le x\le n+\frac{1}{2}$에서 $\displaystyle \left(-x+n+\frac{1}{2}\right)-(-2(x-n)^{2}+(x-n))=2\left(x-n-\frac{1}{2}\right)^{2}\ge0$이므로, $\displaystyle n\le x\le n+\frac{1}{2}$에서의 곡선은 항상 $\displaystyle x=n+\frac{1}{2}$에서의 접선 아래에 놓인다. [문제 2-ⅲ]에서 이미 보였듯이, 같은 한 주기 $\displaystyle n\le x\le n+1$ 안에서는 점 $\displaystyle \mathrm{D}$가 움직이는 범위가 선분 $\displaystyle \mathrm{M}_{n}\mathrm{Q}_{n}$ 이다. 따라서 $\displaystyle n\le x\le n+\frac{1}{2}$에서 생기는 모든 선분 $\displaystyle \mathrm{CD}$의 아래쪽 끝점 $\displaystyle \mathrm{D}$는 모두 선분 $\displaystyle \mathrm{M}_{n}\mathrm{Q}_{n}$ 위에 있다.한편 $\displaystyle n+\frac{1}{2}\le x\le1$에서 생기는 도형 $\displaystyle T_{n}$은, 위쪽 경계인 직선 $\displaystyle y=-x+n+\frac{1}{2}$과 아래쪽 경계인 직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 및 직선 $\displaystyle y=x-n-1$ 사이의 영역을 포함한다. 특히 점 $\displaystyle \left(n+\frac{1}{2},0\right)$, $\displaystyle \mathrm{M}_{n}$, $\displaystyle \mathrm{Q}_{n}$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 전체가 $\displaystyle T_{n}$ 안에 들어간다. 실제로 $\displaystyle \alpha(\mathrm{Q}_{n})\le x\le n+\frac{1}{2}$에서는 $\displaystyle T_{n}$의 아래 경계가 직선 $\displaystyle y=x-n-1$ 인데, 이 직선은 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_{n}$과 점 $\displaystyle \left(n+\frac{1}{2},0\right)$을 이은 선분보다 더 아래에 있으므로, 그 삼각형이 통째로 $\displaystyle T_{n}$에 포함된다. 또 $\displaystyle n\le x\le n+\frac{1}{2}$에서의 곡선은 $\displaystyle x$축 위쪽에 있고, 방금 확인한 것처럼 직선 $\displaystyle y=-x+n+\frac{1}{2}$ 아래에 있으므로 $\displaystyle n\le x\le n+\frac{1}{2}$인 모든 점 $\displaystyle \mathrm{C}$는 이 삼각형 안에 있다. 삼각형 내부의 임의의 두 점을 이은 선분은 다시 삼각형 안에 놓여 있으므로, 밑변 $\displaystyle \mathrm{M}_{n}\mathrm{Q}_{n}$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{D}$와 삼각형 안의 점 $\displaystyle \mathrm{C}$를 이은 선분 $\displaystyle \mathrm{CD}$도 삼각형 안에 놓인다. 따라서 $\displaystyle n\le x\le n+\frac{1}{2}$에서 생기는 선분들은 모두 이미 $\displaystyle T_{n}$ 안에 들어 있으며, 곧 $\displaystyle R_{n}$은 $\displaystyle T_{n}$ 안에 들어있게 된다.Correction. 구간 $\displaystyle n+1/2\le x\le1$의 오른쪽 끝은 $\displaystyle n+1$이어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.② 다음으로 도형 $\displaystyle T_{n}$이 도형 $\displaystyle T_{n+1}$에 포함됨을 보이자. $\displaystyle x=n+\frac{3}{2}$에서의 접선은 $\displaystyle y=-x+n+\frac{3}{2}$이다. $\displaystyle n+\frac{1}{2}\le x\le n+1$에서의 곡선 $\displaystyle y=2(x-n)^{2}-3(x-n)+1$과 방금 구한 접선을 비교하면 $\displaystyle \left(-x+n+\frac{3}{2}\right)-(2(x-n)^{2}-3(x-n)+1)=\frac{1}{2}+2(x-n)(1-(x-n))>0$이 성립한다. 따라서 $\displaystyle n+\frac{1}{2}\le x\le n+1$에서 생긴 도형은 $\displaystyle n+\frac{3}{2}\le x\le n+2$에서 생긴 도형 안에 들어간다. 결국 전체 도형은 $\displaystyle 2026+\frac{1}{2}\le x\le2027$에서 생기는 도형 하나와 같다.

이제 일반적인 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle T_{n}$의 넓이 $\displaystyle S_{n}$을 구하자. $\displaystyle T_{n}$은 다음과 같이 세 부분으로 나누어 적분할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned} S_{n} &=\int_{\alpha(\mathrm{M}_{n})}^{\alpha(\mathrm{Q}_{n})}\left\{\left(-x+n+\frac{1}{2}\right)-\left(-\frac{4}{3}x-1\right)\right\}dx+\int_{\alpha(\mathrm{Q}_{n})}^{n+\frac{1}{2}}\left\{\left(-x+n+\frac{1}{2}\right)-(x-n-1)\right\}dx \\ &\quad+\int_{n+\frac{1}{2}}^{n+1}\{(2(x-n)^{2}-3(x-n)+1)-(x-n-1)\}dx \end{aligned}$여기서 $\displaystyle \alpha(\mathrm{M}_{n})=-3n-\frac{9}{2}$, $\displaystyle \alpha(\mathrm{Q}_{n})=\frac{3n}{7}$이므로 계산하면 $\displaystyle S_{n}=\frac{16}{7}n^{2}+6n+\frac{95}{24}$를 얻는다.

따라서 $\displaystyle n=2026$을 대입하면 $\displaystyle S_{2026}=\frac{1578238457}{168}$이 된다. 따라서 선분 $\displaystyle \mathrm{CD}$가 이루는 도형의 면적은 $\displaystyle \frac{1578238457}{168}$이다.