수리형 3번

$\displaystyle k=21$에 대하여 완전제곱식을 이용하면$\displaystyle \sqrt{n^{2}+21n}<\sqrt{n^{2}+21n+\left(\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\left(n+\frac{21}{2}\right)^{2}}=n+\frac{21}{2}$이므로,$\displaystyle d_{n}=n+\frac{21}{2}-\sqrt{n^{2}+21n}=\frac{\frac{441}{4}}{n+\frac{21}{2}+\sqrt{n^{2}+21n}}$이라 하자. 이 경우 $\displaystyle a_{n}=n+\frac{21}{2}-d_{n}$이 성립한다. 즉$\displaystyle a_{500}=510+\left(\frac{1}{2}-d_{500}\right),\quad a_{2027}=2036+\left(\frac{3}{2}-d_{2027}\right)$이다. $\displaystyle n\ge500$이면 $\displaystyle 0<d_{n}\le\frac{441}{8n}\le\frac{441}{4000}<\frac{1}{6}$이므로$\displaystyle \frac{1}{3}<\frac{1}{2}-d_{n}<\frac{1}{2},\quad\frac{4}{3}<\frac{3}{2}-d_{n}<\frac{3}{2}$이 성립한다.

따라서$\displaystyle a_{500}\in\left(510+\frac{1}{3},510+\frac{1}{2}\right),\quad a_{2027}\in\left(2036+\frac{4}{3},2036+\frac{3}{2}\right)$이다. 그러므로 $\displaystyle a_{500}$는 $\displaystyle 2$번 구간에, $\displaystyle a_{2027}$은 $\displaystyle 5$번 구간에 들어간다.

만약 $\displaystyle n$이 짝수이면 $\displaystyle \sqrt{n^{2}+41n}-(n+20)=\frac{1}{2}-d_{n}$이고, $\displaystyle n+20$이 짝수이므로 $\displaystyle a_{n}$이 들어가는 구간은 $\displaystyle \frac{1}{2}-d_{n}$이 어느 구간에 들어가는지에 따라 결정된다. 그런데 $\displaystyle 0<\frac{1}{2}-d_{n}<\frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle a_{n}$은 $\displaystyle 1$번 또는 $\displaystyle 2$번 구간에만 들어갈 수 있다. 즉, $\displaystyle n$이 짝수일 경우 $\displaystyle a_{n}$은 $\displaystyle 5$번 구간에 들어갈 수 없다.

$\displaystyle n$이 홀수이면 $\displaystyle \sqrt{n^{2}+41n}-(n+19)=\frac{3}{2}-d_{n}$이고, $\displaystyle n+19$가 짝수이므로 $\displaystyle a_{n}$이 들어가는 구간은 $\displaystyle \frac{3}{2}-d_{n}$이 어느 구간에 들어가는지에 따라 결정된다. $\displaystyle 1<\frac{3}{2}-d_{n}<\frac{3}{2}$이므로 $\displaystyle a_{n}$이 $\displaystyle 5$번 구간에 들어가기 위해선 $\displaystyle \frac{4}{3}\le\frac{3}{2}-d_{n}<\frac{5}{3}$이 성립해야 하고, 즉 $\displaystyle 0<d_{n}\le\frac{1}{6}$이 만족되어야 한다. 이 부등식을 $\displaystyle n$에 관해 정리하면 $\displaystyle \frac{3721}{3}\le n$이 되므로, 이를 만족하는 $\displaystyle 500\le n\le2027$인 홀수 $\displaystyle n$의 개수는 $\displaystyle 394$가 된다.따라서 $\displaystyle 5$번 구간에 들어가는 $\displaystyle a_{n}$의 개수는 $\displaystyle 394$개가 된다.

만약 $\displaystyle n$이 홀수이면 $\displaystyle \sqrt{n^{2}+kn}-(n-1)=\sqrt{n^{2}+kn}-\left(n+\frac{k}{2}\right)+\frac{k}{2}+1=\frac{k}{2}+1-d_{n}$이고 $\displaystyle n-1$이 짝수이므로 $\displaystyle \sqrt{n^{2}+kn}$이 $\displaystyle 3$번 구간에 들어가려면, $\displaystyle \frac{k}{2}+1-d_{n}$이 $\displaystyle 3$번 구간에 들어가야 한다.즉, $\displaystyle k$가 $\displaystyle 4m+1$, $\displaystyle 4m+2$, $\displaystyle 4m+3$일 경우 각각 $\displaystyle \frac{3}{2}-d_{n}$, $\displaystyle 2-d_{n}$, $\displaystyle \frac{1}{2}-d_{n}$이 구간 $\displaystyle \left[\frac{2}{3},1\right)$에 들어가야 하는데 $\displaystyle 0<d_{n}<\frac{1}{2}$이므로 불가능하다.

$\displaystyle 0<d_{n}<\frac{1}{2}$이므로, $\displaystyle k$가 홀수이면 $\displaystyle \frac{1}{2}-d_{n}$ 또는 $\displaystyle \frac{3}{2}-d_{n}$이 구간 $\displaystyle \left[\frac{2}{3},1\right)$에 들어가야 하는데 이는 $\displaystyle 0<d_{n}<\frac{1}{2}$임을 고려하면 불가능하다. 즉, $\displaystyle 21\le k\le43$인 $\displaystyle k=4m+1$, $\displaystyle 4m+3$에 대해 $\displaystyle A_{k}=0$이 되어 $\displaystyle \sum_{m=5}^{10}A_{4m+1}=\sum_{m=5}^{10}A_{4m+3}=0$이다.

그리고 $\displaystyle k=4m+2$인 경우에는 $\displaystyle 1-d_{n}$이 구간 $\displaystyle \left[\frac{2}{3},1\right)$에 들어가야 하므로 $\displaystyle 0<d_{n}\le\frac{1}{3}$이 만족되어야 한다. 즉 $\displaystyle 6m^{2}+4m+\frac{2}{3}\le n$이 성립되어야 한다. 이는 각각의 고정된 $\displaystyle 5\le m\le10$에 대하여 $\displaystyle 500\le n\le2026$인 짝수 중 $\displaystyle 6m^{2}+4m+1\le n$을 만족하는 $\displaystyle n$의 개수가 $\displaystyle A_{4m+2}$가 된다. $\displaystyle m=5,6,7,8$인 경우 $\displaystyle 6m^{2}+4m+1<500$이므로 $\displaystyle A_{22}=A_{26}=A_{30}=A_{34}=764$이고, $\displaystyle 9\le m\le10$인 경우 $\displaystyle 6m^{2}+4m+1\ge500$이므로 $\displaystyle A_{4m+2}=1013-3m^{2}-2m$이고, 따라서 $\displaystyle A_{38}=752$, $\displaystyle A_{42}=693$이다. 그러므로$\displaystyle \sum_{m=5}^{10}\left(A_{4m+1}+A_{4m+2}+A_{4m+3}\right)=\sum_{m=5}^{10}A_{4m+2}=4501$이다.