자연계열 (1차) 1번

【1-1】확률변수 $\displaystyle X$가 2만 번 게임에서 서강이의 구슬이 늘어난 횟수라고 하면 모든 게임이 종료된 후 서강이는 $\displaystyle 2X$개의 구슬을 갖게 된다. 큰 수의 법칙에 의해 $\displaystyle \frac X{20000}$은 각 게임에서 적어도 한 번 6이 나올 확률 $\displaystyle 0.518$의 어림값이므로 $\displaystyle X\simeq0.518\times20,000=10,360$이다.따라서 모든 게임이 종료된 후 서강이는 대략 $\displaystyle 10,360\times2=20,720$개의 구슬을 가지고 있게 된다.

【1-2】2개의 주사위를 25번 던지는 두 번째 방식의 내기에서한 번도 $\displaystyle (6,6)$이 나오지 않을 확률은 $\displaystyle \left(\frac{35}{36}\right)^{25}=\left(\frac{35}{36}\right)^{24}\times\frac{35}{36}$이고,제시문으로부터 $\displaystyle \left(\frac{35}{36}\right)^{24}=0.509<0.510$이므로, $\displaystyle \left(\frac{35}{36}\right)^{25}=\left(\frac{35}{36}\right)^{24}\times\frac{35}{36}<0.510\times\frac{35}{36}<0.496$이다.따라서 드 메레가 내기에서 이길 확률은 $\displaystyle 1-\left(\frac{35}{36}\right)^{25}>1-0.496=0.504$이다.그러므로 그 내기는 드 메레에게 불리하지 않다.

【1-3】게임 종료 후 마이클의 보유 현금은 주사위가 6이 나오면 $\displaystyle 100(1+8x)$달러이고 6이 나오지 않는 경우 $\displaystyle 100(1-x)$달러가 된다. 따라서 그의 만족도는 주사위가 6이 나오면 $\displaystyle \ln(100(1+8x))$이고, 6이 나오지 않으면 $\displaystyle \ln(100(1-x))$의 값을 갖는 이산확률변수이다. 만족도의 기댓값을 $\displaystyle x$의 함수로 나타내면 $\displaystyle f(x)=\frac16\ln(100(1+8x))+\frac56\ln(100(1-x))$이고, 이 함수를 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{800}{600(1+8x)}-\frac{500}{600(1-x)}=\frac8{6(1+8x)}-\frac5{6(1-x)}=\frac{1-16x}{2(1+8x)(1-x)}$따라서 방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$는 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에서 $\displaystyle x=\frac1{16}$이라는 유일한 해를 갖는다.$\displaystyle 0<x<\frac1{16}$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 증가함수이고,$\displaystyle \frac1{16}<x<1$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 감소함수이다.따라서 마이클이 0과 1사이의 실수 $\displaystyle x=\frac1{16}$을 선택할 때 만족도의 기댓값은 최대가 된다.

【1-4】$\displaystyle X$가 각각의 수 $\displaystyle n$ ($\displaystyle n=101,102,\cdots,200$)을 가질 확률은 모두 $\displaystyle \frac1{100}$로 동일하므로$\displaystyle Y$가 각각의 수 $\displaystyle \frac{100}n$을 가질 확률도 모두 $\displaystyle \frac1{100}$로 동일하고,따라서 $\displaystyle Y$의 확률질량함수는 $\displaystyle \mathrm P\left(Y=\frac{100}n\right)=\frac1{100}$ ($\displaystyle n=101,102,\cdots,200$)이다.그러므로 $\displaystyle \mathrm E(Y)=\sum_{n=101}^{200}\frac{100}n\frac1{100}=\sum_{n=101}^{200}\frac1n$이다.제시문 [라]에서 언급한 대로 $\displaystyle \int_{100}^{200}\frac1x\,dx$는 $\displaystyle y=\frac1x$와 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=100$, $\displaystyle x=200$으로 둘러싸인 도형의 넓이다. $\displaystyle \sum_{n=101}^{200}\frac1n$은 구간 $\displaystyle [100,200]$을 $\displaystyle 100$등분하여 밑변의 길이를 $\displaystyle 1$로 하고 $\displaystyle y=\frac1x$의 아래에 완전히 포함되는 가장 큰 직사각형들의 넓이의 합이므로 $\displaystyle \sum_{n=101}^{200}\frac1n<\int_{100}^{200}\frac1x\,dx$이 성립한다.마찬가지로 $\displaystyle \sum_{n=101}^{200}\frac1n$은 구간 $\displaystyle [101,201]$을 $\displaystyle 100$등분하여 밑변의 길이를 $\displaystyle 1$로 하고 $\displaystyle y=\frac1x$을 완전히 포함하는 가장 작은 직사각형들의 넓이의 합이므로 $\displaystyle \int_{101}^{201}\frac1x\,dx<\sum_{n=101}^{200}\frac1n$이 성립한다.$\displaystyle \int_{101}^{201}\frac1x\,dx=\ln\frac{201}{101}$이고 $\displaystyle \int_{100}^{200}\frac1x\,dx=\ln2$이므로, $\displaystyle \ln\frac{201}{101}<\mathrm E(Y)<\ln2$이다.