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자연계열 (2차) 4번

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서강대 2018학년도 수시 자연계열 (2차) 4번 · mathesis.kr/archive/sogang/2018su/jayeon2_4

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문제

기하학적인 도형을 다루기 위해서 함수와 벡터를 모두 사용할 수 있다. 곡선과 직선을 함수로 표시하는 경우에는 미분과 적분을 사용할 수 있는 장점이 있고, 벡터를 사용하는 경우에는 벡터의 연산을 활용할 수 있는 장점이 있다.

아래의 그림은 돔 구장 내부 단면의 일부를 표시한 것이다. 돔 구장의 단면은 좌우 대칭이고, 지면은 x\displaystyle x축, 수직으로 세워진 기둥은 y\displaystyle y축, 그리고 원점은 O로 표시되어 있다. 돔 구장은 이중의 지붕을 가지고 있다. 아래 지붕은 타원으로서 지면까지 이어져 있고, 타원의 방정식은 x24+3y2=1\displaystyle \frac{x^2}4+3y^2=1이다. 타원 위에는 (크기가 없는) 구멍 A가 있고, 좌표는 (1,12)\displaystyle \left(1,\frac12\right)이다. 또 하나의 지붕은 원점을 중심으로 하고, 반지름의 길이가 2\displaystyle 2인 원이다.

타원 지붕과 반지름 2인 원형 지붕, 점 A에서의 접선 및 두 지붕 사이의 원형 구조물

위의 제시문을 참고하여 다음 물음에 답하시오. (글자 제한 없음)

【4-1】 점 A에서 타원에 접하는 접선 l\displaystyle l의 방정식을 구하시오.

【4-2】 접선 l\displaystyle l이 y\displaystyle y축과 만나는 점을 B라고 하자. 벡터 AB→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}와 벡터 OA→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}가 이루는 각 θ\displaystyle \theta는 3π4<θ<π\displaystyle \frac{3\pi}4<\theta<\pi의 범위에 있음을 보이시오.

【4-3】 원점 O에서 출발하는 공이 포물선을 따라 움직인다. t\displaystyle t초 후 공의 위치는{x=ty=−αt2+βt(α,β는 α>0, 0<β≤1인 상수)\displaystyle \begin{cases}x=t\\y=-\alpha t^2+\beta t\end{cases}\quad(\alpha,\beta\text{는 }\alpha>0,\,0<\beta\le1\text{인 상수})로 주어진다. 공이 구멍 A를 통과한다면, t=0\displaystyle t=0에서 속도의 y\displaystyle y성분의 범위를 구하시오. (단, 공은 크기가 없는 점으로 가정하자.)

【4-4】 돔 구장의 이중 지붕 사이에는 원형 구조물이 놓여있다. 이 원은 점 A에서 접선 l\displaystyle l에 접하고, 동시에 원형 지붕에도 접한다. 원의 반지름의 길이 r\displaystyle r을 구하시오.

해설강의 준비중

서강대 2018학년도 수시 자연계열 (2차) 4번 · mathesis.kr/archive/sogang/2018su/jayeon2_4

4-1 · 음함수를 미분하여 곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식을 구할 수 있는지, 매개변수로 나타낸 함수를 미분하여 곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식을 구할 수 있는지를 평가한다.

【4-1】x24+3y2=1\displaystyle \frac{x^2}4+3y^2=1에 접하는 접선의 기울기는 dydx=−x12y\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{12y}이므로, (1,12)\displaystyle \left(1,\frac12\right)에서 기울기는 −16\displaystyle -\frac16이다.기울기가 −16\displaystyle -\frac16이고, (1,12)\displaystyle \left(1,\frac12\right)을 지나므로, 접선 l\displaystyle l의 방정식은 y=−16(x−1)+12=−16x+23\displaystyle y=-\frac16(x-1)+\frac12=-\frac16x+\frac23이다.

4-2 · 위치벡터의 뜻을 알고, 평면벡터와 좌표의 대응을 이해하는지, 두 평면벡터의 내적의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있는지를 평가한다.

【4-2】벡터 OA→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}는 (1,12)\displaystyle \left(1,\frac12\right)이고, 점 B의 좌표는 (0,23)\displaystyle \left(0,\frac23\right)이므로 벡터 AB→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}는 (−1,16)\displaystyle \left(-1,\frac16\right)이다.벡터의 내적을 표현하는 방식 OA→⋅AB→=∣OA→∣ ∣AB→∣cos⁡θ\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|\,|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|\cos\theta를 이용하기 위하여 OA→⋅AB→=−1112\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=-\frac{11}{12}와 ∣OA→∣=52\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\frac{\sqrt5}2, ∣AB→∣=376\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\frac{\sqrt{37}}6을 사용하면, cos⁡θ=−11185\displaystyle \cos\theta=-\frac{11}{\sqrt{185}}이다.따라서 −1<cos⁡θ<−12\displaystyle -1<\cos\theta<-\frac1{\sqrt2}이고, 각 θ\displaystyle \theta는 3π4<θ<π\displaystyle \frac{3\pi}4<\theta<\pi의 범위에 있다.

4-3 · 미분법을 이용하여 속도와 가속도에 대한 문제를 해결할 수 있는지를 평가한다.

【4-3】원점에서 공이 출발하는 속도는 위치를 시간으로 미분하면 (1,β)\displaystyle (1,\beta)이다. 즉 t=0\displaystyle t=0에서 속도의 y\displaystyle y성분은 β\displaystyle \beta이다. 포물선은 점 A를 지나기 때문에 12=−α+β\displaystyle \frac12=-\alpha+\beta를 만족한다.이 식에 주어진 조건 α>0\displaystyle \alpha>0를 적용하면 12<β\displaystyle \frac12<\beta이 되므로, β\displaystyle \beta는 12<β≤1\displaystyle \frac12<\beta\le1의 범위에 있다.한편, 공이 A를 통과하려면 점 A에서 포물선의 기울기가 −16\displaystyle -\frac16보다 커야 한다.즉 −2α+β>−16\displaystyle -2\alpha+\beta>-\frac16이 되려면 β<76\displaystyle \beta<\frac76이다. 12<β≤1\displaystyle \frac12<\beta\le1는 β<76\displaystyle \beta<\frac76의 범위를 만족하므로, 공은 A를 통과한다. 따라서 속도의 y\displaystyle y성분 β\displaystyle \beta는 12<β≤1\displaystyle \frac12<\beta\le1 범위에 있다.

4-4 · 음함수를 미분하여 곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식을 구할 수 있는지, 두 평면벡터의 내적의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있는지, 좌표평면에서 벡터를 이용하여 직선의 방정식을 구할 수 있는지, 좌표평면에서 벡터를 이용하여 원의 방정식을 구할 수 있는지를 평가한다.

【4-4】원의 중심을 C로 놓자. 벡터 OC→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}는 벡터의 덧셈을 쓰면, OC→=OA→+AC→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}이다.벡터 OA→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}는 (1,12)\displaystyle \left(1,\frac12\right)이다. 벡터 AC→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}는 접선 l\displaystyle l에 수직이므로, AC→=t(1,6)\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}=t(1,6)로 놓을 수 있다.AC→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}의 크기는 r\displaystyle r이므로 r=t37\displaystyle r=t\sqrt{37}. 따라서 AC→=r37(1,6)\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\frac r{\sqrt{37}}(1,6)이다.벡터의 내적을 이용하면 ∣OC→∣2=∣OA→∣2+2OA→⋅AC→+∣AC→∣2\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2+2\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}+|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^2이고,OC→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}의 크기는 2−r\displaystyle 2-r이므로 (2−r)2=54+8r37+r2\displaystyle (2-r)^2=\frac54+\frac{8r}{\sqrt{37}}+r^2을 얻는다.이 식을 정리하면 4(237+1)r=114\displaystyle 4\left(\frac2{\sqrt{37}}+1\right)r=\frac{11}4이므로, 반지름은 r=1116(237+1)=113716(2+37)\displaystyle r=\frac{11}{16\left(\frac2{\sqrt{37}}+1\right)}=\frac{11\sqrt{37}}{16(2+\sqrt{37})}이다.

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