자연계열 (2차) 4번

【4-1】$\displaystyle \frac{x^2}4+3y^2=1$에 접하는 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{12y}$이므로, $\displaystyle \left(1,\frac12\right)$에서 기울기는 $\displaystyle -\frac16$이다.기울기가 $\displaystyle -\frac16$이고, $\displaystyle \left(1,\frac12\right)$을 지나므로, 접선 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac16(x-1)+\frac12=-\frac16x+\frac23$이다.

【4-2】벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}$는 $\displaystyle \left(1,\frac12\right)$이고, 점 B의 좌표는 $\displaystyle \left(0,\frac23\right)$이므로 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}$는 $\displaystyle \left(-1,\frac16\right)$이다.벡터의 내적을 표현하는 방식 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|\,|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|\cos\theta$를 이용하기 위하여 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=-\frac{11}{12}$와 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\frac{\sqrt5}2$, $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\frac{\sqrt{37}}6$을 사용하면, $\displaystyle \cos\theta=-\frac{11}{\sqrt{185}}$이다.따라서 $\displaystyle -1<\cos\theta<-\frac1{\sqrt2}$이고, 각 $\displaystyle \theta$는 $\displaystyle \frac{3\pi}4<\theta<\pi$의 범위에 있다.

【4-3】원점에서 공이 출발하는 속도는 위치를 시간으로 미분하면 $\displaystyle (1,\beta)$이다. 즉 $\displaystyle t=0$에서 속도의 $\displaystyle y$성분은 $\displaystyle \beta$이다. 포물선은 점 A를 지나기 때문에 $\displaystyle \frac12=-\alpha+\beta$를 만족한다.이 식에 주어진 조건 $\displaystyle \alpha>0$를 적용하면 $\displaystyle \frac12<\beta$이 되므로, $\displaystyle \beta$는 $\displaystyle \frac12<\beta\le1$의 범위에 있다.한편, 공이 A를 통과하려면 점 A에서 포물선의 기울기가 $\displaystyle -\frac16$보다 커야 한다.즉 $\displaystyle -2\alpha+\beta>-\frac16$이 되려면 $\displaystyle \beta<\frac76$이다. $\displaystyle \frac12<\beta\le1$는 $\displaystyle \beta<\frac76$의 범위를 만족하므로, 공은 A를 통과한다. 따라서 속도의 $\displaystyle y$성분 $\displaystyle \beta$는 $\displaystyle \frac12<\beta\le1$ 범위에 있다.

【4-4】원의 중심을 C로 놓자. 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}$는 벡터의 덧셈을 쓰면, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$이다.벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}$는 $\displaystyle \left(1,\frac12\right)$이다. 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}$는 접선 $\displaystyle l$에 수직이므로, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}=t(1,6)$로 놓을 수 있다.$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}$의 크기는 $\displaystyle r$이므로 $\displaystyle r=t\sqrt{37}$. 따라서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\frac r{\sqrt{37}}(1,6)$이다.벡터의 내적을 이용하면 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2+2\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}+|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^2$이고,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}$의 크기는 $\displaystyle 2-r$이므로 $\displaystyle (2-r)^2=\frac54+\frac{8r}{\sqrt{37}}+r^2$을 얻는다.이 식을 정리하면 $\displaystyle 4\left(\frac2{\sqrt{37}}+1\right)r=\frac{11}4$이므로, 반지름은 $\displaystyle r=\frac{11}{16\left(\frac2{\sqrt{37}}+1\right)}=\frac{11\sqrt{37}}{16(2+\sqrt{37})}$이다.