자연계열 (1차) 2번

【2-1】함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle (0,1)$, $\displaystyle (1,\infty)$ 각각에서 미분가능하고, $\displaystyle 0<x<1$이면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2x$이고 $\displaystyle x>1$이면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2$이다. 또한,$\displaystyle \lim_{x\to1-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1-}\frac{x^2-1}{x-1}=2$이고 $\displaystyle \lim_{x\to1+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1+}\frac{(2x-1)-1}{x-1}=2$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=1$에서 미분가능하다. 함수 $\displaystyle f(x)$의 도함수를 정리하면,$\displaystyle f^{\prime}(x)=\begin{cases}2x&(0<x<1)\\2&(x\ge1)\end{cases}$이다. 이제 부등식을 증명한다. $\displaystyle a\ge1$라고 가정하면 $\displaystyle f(a)=2a-1$, $\displaystyle f^{\prime}(a)=2$이다. 따라서 $\displaystyle 0<x<1$이면$\displaystyle f(x)-f(a)-f^{\prime}(a)(x-a)=x^2-(2a-1)-2(x-a)=(x-1)^2\ge0$이고 $\displaystyle x\ge1$이면$\displaystyle f(x)-f(a)-f^{\prime}(a)(x-a)=(2x-1)-(2a-1)-2(x-a)=0$이다. $\displaystyle 0<a<1$일 때는 $\displaystyle f(a)=a^2$, $\displaystyle f^{\prime}(a)=2a$이다. 따라서 $\displaystyle 0<x<1$이면$\displaystyle f(x)-f(a)-f^{\prime}(a)(x-a)=x^2-a^2-2a(x-a)=(x-a)^2\ge0$이고 $\displaystyle x\ge1$이면$\displaystyle f(x)-f(a)-f^{\prime}(a)(x-a)=(2x-1)-a^2-2a(x-a)\ge(a-1)^2\ge0$이다.

【2-2】양의 실수 $\displaystyle a$에 대하여, 점 $\displaystyle A(a,f(a))$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$이므로 이 직선에 수직이며 점 $\displaystyle A$를 지나는 직선의 방정식은$\displaystyle y=-\frac1{f^{\prime}(a)}(x-a)+f(a)$이다. 이 직선이 $\displaystyle x$축과 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표는$\displaystyle -\frac1{f^{\prime}(a)}(x-a)+f(a)=0$에서 $\displaystyle x=a+f(a)f^{\prime}(a)$이다. 따라서 구하는 함수 $\displaystyle g(x)$는 아래와 같다.$\displaystyle g(x)=x+f(x)f^{\prime}(x)=\begin{cases}2x^3+x&(0<x<1)\\5x-2&(x\ge1)\end{cases}$이 함수 $\displaystyle g(x)$는 구간 $\displaystyle (0,1)$, $\displaystyle (1,\infty)$ 각각에서 연속이고 $\displaystyle \lim_{x\to1-}g(x)=\lim_{x\to1+}g(x)=3=g(1)$이므로 전체 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 연속이다. 또한, 함수 $\displaystyle g(x)$는 구간 $\displaystyle [1,\infty)$에서는 기울기가 양인 일차함수이므로 당연히 증가하고, $\displaystyle 0<x<1$일 때 $\displaystyle g^{\prime}(x)=6x^2+1>0$이므로 $\displaystyle (0,1)$에서 증가한다. 따라서 함수 $\displaystyle g(x)$가 전체 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 증가한다.

【2-3】$\displaystyle \alpha\ge3$일 때, $\displaystyle g(x)=\alpha$를 만족시키는 양의 실수 $\displaystyle x$를 $\displaystyle \beta$라고 하자. 함수 $\displaystyle g(x)$가 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 증가하고 $\displaystyle g(1)=3\le\alpha$이므로 $\displaystyle \beta\ge1$이다. 이때 $\displaystyle g(\beta)=5\beta-2=\alpha$이므로 $\displaystyle \beta=\frac{\alpha+2}5$이다.또한, $\displaystyle \beta\ge1$이므로 $\displaystyle f(\beta)=2\beta-1=\frac{2\alpha-1}5$이다. 좌표가 $\displaystyle (\beta,f(\beta))$인 점을 B라고 나타내면, 점 B는 점 A에서 직선 $\displaystyle y=2x-1$에 내린 수선의 발이다. 한편, $\displaystyle 0<x<1$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)=x^2>2x-1$이다. 따라서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 임의의 점 $\displaystyle \mathrm C(x,f(x))$에 대하여 $\displaystyle x\ne\beta$이면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}<\overline{\mathrm{AC}}$가 성립한다. 그러므로 구하는 점 B의 좌표는$\displaystyle (\beta,f(\beta))=\left(\frac{\alpha+2}5,\frac{2\alpha-1}5\right)$이다.

【2-4】$\displaystyle 0<\alpha<3$일 때, 점 A$\displaystyle (\alpha,0)$에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 B까지의 거리 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$가 최소가 되는 점 B는 포물선 $\displaystyle y=x^2$의 $\displaystyle 0<x<1$부분에 존재한다. 포물선 $\displaystyle y=x^2$ 위의 임의의 점 B$\displaystyle (x,x^2)$에 대하여 거리 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$의 제곱을 $\displaystyle F(x)$라고 하면$\displaystyle F(x)=(x-\alpha)^2+(x^2)^2=x^4+x^2-2\alpha x+\alpha^2$이다. 이제, $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$가 최소가 되는 점 B의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle \beta$라고 하면 함수 $\displaystyle F(x)$가 $\displaystyle x=\beta$에서 최솟값을 가지므로$\displaystyle F^{\prime}(\beta)=4\beta^3+2\beta-2\alpha=0$,즉$\displaystyle 2\beta^3+\beta=\alpha\qquad\cdots\text{①}$가 성립한다. 이 등식이 $\displaystyle (\alpha,\beta)=(3,1)$일 때도 성립하므로$\displaystyle 2(1-\beta^3)+(1-\beta)=3-\alpha$이고, 이를 인수분해하면$\displaystyle (1-\beta)(3+2\beta+2\beta^2)=3-\alpha$이다. 여기서,$\displaystyle 0<\alpha<3\quad\text{이고}\quad3+2\beta+2\beta^2=2\left(\beta+\frac12\right)^2+\frac52\ge\frac52$이므로$\displaystyle 0<\frac52(1-\beta)\le3-\alpha,\quad\text{즉}\quad0<1-\beta\le\frac25(3-\alpha)$이다.