자연계열 (1차) 1번

【1-1】 제시문 [다]에 의해 확률질량함수 $\displaystyle \mathrm{P}(X=i)=\frac{{}_{11-i}\mathrm{H}_i\times{}_{11-i}\mathrm{H}_i}{{}_d\mathrm{H}_{10}}\ (i=0,1,2,\cdots,10)$의 합은 $\displaystyle 1$이므로,$\displaystyle \frac{{}_{11}\mathrm{H}_0\times{}_{11}\mathrm{H}_0}{{}_d\mathrm{H}_{10}}+\frac{{}_{10}\mathrm{H}_1\times{}_{10}\mathrm{H}_1}{{}_d\mathrm{H}_{10}}+\cdots+\frac{{}_1\mathrm{H}_{10}\times{}_1\mathrm{H}_{10}}{{}_d\mathrm{H}_{10}}=1$이고, 제시문 [가]에 의해 $\displaystyle {}_n\mathrm{H}_r={}_{n+r-1}\mathrm{C}_r$이므로$\displaystyle 1=\frac{{}_{10}\mathrm{C}_0\times{}_{10}\mathrm{C}_0+{}_{10}\mathrm{C}_1\times{}_{10}\mathrm{C}_1+\cdots+{}_{10}\mathrm{C}_{10}\times{}_{10}\mathrm{C}_{10}}{{}_{9+d}\mathrm{C}_{10}}=\frac{({}_{10}\mathrm{C}_0)^2+({}_{10}\mathrm{C}_1)^2+\cdots+({}_{10}\mathrm{C}_{10})^2}{{}_{9+d}\mathrm{C}_{10}}$이다.따라서 $\displaystyle ({}_{10}\mathrm{C}_0)^2+({}_{10}\mathrm{C}_1)^2+\cdots+({}_{10}\mathrm{C}_{10})^2={}_{9+d}\mathrm{C}_{10}$이 성립한다.제시문 [나]에 의해 등식 $\displaystyle (1+x)^{10}(1+x)^{10}=(1+x)^{20}$에서 좌변의 $\displaystyle x^{10}$의 계수는 $\displaystyle {}_{10}\mathrm{C}_0\times{}_{10}\mathrm{C}_{10}+{}_{10}\mathrm{C}_1\times{}_{10}\mathrm{C}_9+\cdots+{}_{10}\mathrm{C}_{10}\times{}_{10}\mathrm{C}_0=({}_{10}\mathrm{C}_0)^2+({}_{10}\mathrm{C}_1)^2+\cdots+({}_{10}\mathrm{C}_{10})^2={}_{9+d}\mathrm{C}_{10}$이고, 우변의 $\displaystyle x^{10}$의 계수는 $\displaystyle {}_{20}\mathrm{C}_{10}$이다.좌변과 우변의 $\displaystyle x^{10}$의 계수는 같으므로 $\displaystyle 9+d=20$이고, $\displaystyle d=11$이다.

【1-2】 제시문 [다]에 의해 확률질량함수 $\displaystyle \mathrm{P}(Y=i)=\frac{{}_{21}\mathrm{C}_{2i+1}}b s^{20-2i}(1-s)^{2i+1}\ (i=0,1,2,\cdots,10)$의 합이 $\displaystyle 1$이므로 $\displaystyle b={}_{21}\mathrm{C}_1s^{20}(1-s)^1+{}_{21}\mathrm{C}_3s^{18}(1-s)^3+\cdots+{}_{21}\mathrm{C}_{21}s^0(1-s)^{21}$이다. 우변의 각항의 $\displaystyle s$와 $\displaystyle 1-s$의 차수의 합이 $\displaystyle 21$로 일정하고, $\displaystyle 1-s$의 차수가 모두 홀수이므로$\displaystyle \begin{aligned}b&={}_{21}\mathrm{C}_1s^{20}(1-s)^1+{}_{21}\mathrm{C}_3s^{18}(1-s)^3+\cdots+{}_{21}\mathrm{C}_{21}s^0(1-s)^{21}\\&=\frac12\{{}_{21}\mathrm{C}_0s^{21}(1-s)^0+{}_{21}\mathrm{C}_1s^{20}(1-s)^1+\cdots+{}_{21}\mathrm{C}_{20}s^1(1-s)^{20}+{}_{21}\mathrm{C}_{21}s^0(1-s)^{21}\}\\&\quad-\frac12\{{}_{21}\mathrm{C}_0s^{21}(1-s)^0-{}_{21}\mathrm{C}_1s^{20}(1-s)^1+\cdots+{}_{21}\mathrm{C}_{20}s^1(1-s)^{20}-{}_{21}\mathrm{C}_{21}s^0(1-s)^{21}\}\end{aligned}$로 변형할 수 있고, 제시문 [나]에서 $\displaystyle n=21$, $\displaystyle a=s$, $\displaystyle b=1-s$인 경우와 $\displaystyle n=21$, $\displaystyle a=s$, $\displaystyle b=s-1$인 경우의 이항정리를 이용하면$\displaystyle b=\frac12\{s+(1-s)\}^{21}-\frac12\{s-(1-s)\}^{21}=\frac{1-(2s-1)^{21}}2$

【1-3】 $\displaystyle 10$회 시행 후 $\displaystyle 1$이 적힌 종이를 꺼낸 횟수 $\displaystyle i$를 확률변수 $\displaystyle X$라 하자. $\displaystyle 10$회의 독립시행에서 $\displaystyle 1$이 나올 확률이 $\displaystyle \frac12$이므로, 확률변수 $\displaystyle X$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}\left(10,\frac12\right)$을 따르고 $\displaystyle \mathrm{P}(X=i)={}_{10}\mathrm{C}_i\left(\frac12\right)^i\left(1-\frac12\right)^{10-i}=\frac{{}_{10}\mathrm{C}_i}{2^{10}}\ (i=0,1,2,\cdots,10)$이다. 상금의 기댓값을 $\displaystyle r$라 하면 제시문 [라]에 의해$\displaystyle r=g(1)\mathrm{P}(X=1)+g(1)\mathrm{P}(X=1)+\cdots+g(10)\mathrm{P}(X=10)$Correction. 첫 항은 $\displaystyle g(0)\mathrm{P}(X=0)$이고, 다음 줄에서 $\displaystyle 2^2+1$의 계수는 $\displaystyle {}_{10}\mathrm{C}_2$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle =\frac1{2^{10}}\{{}_{10}\mathrm{C}_0(2^0+1)+{}_{10}\mathrm{C}_1(2^1-1)+{}_{10}\mathrm{C}_3(2^2+1)+\cdots+{}_{10}\mathrm{C}_{10}(2^{10}+1)\}$Correction. 첫 항은 $\displaystyle g(0)\mathrm{P}(X=0)$이고, 다음 줄에서 $\displaystyle 2^2+1$의 계수는 $\displaystyle {}_{10}\mathrm{C}_2$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}&=\frac1{2^{10}}({}_{10}\mathrm{C}_0 2^0+{}_{10}\mathrm{C}_1 2^1+{}_{10}\mathrm{C}_2 2^2+{}_{10}\mathrm{C}_3 2^3+\cdots+{}_{10}\mathrm{C}_{10}2^{10})\\&\quad+\frac1{2^{10}}({}_{10}\mathrm{C}_0-{}_{10}\mathrm{C}_1+{}_{10}\mathrm{C}_2-{}_{10}\mathrm{C}_3+\cdots+{}_{10}\mathrm{C}_{10})\end{aligned}$따라서 제시문 [나]의 이항정리를 이용하면$\displaystyle r=\frac{(1+2)^{10}+(1-1)^{10}}{2^{10}}=\frac{3^{10}}{2^{10}}=\frac{59049}{1024}$

【1-4】 $\displaystyle 100$회 시행 후 $\displaystyle 1$이 적힌 종이를 꺼낸 횟수를 확률변수 $\displaystyle X$라 하자. $\displaystyle 100$회의 독립시행에서 $\displaystyle 1$이 나올 확률이 $\displaystyle \frac1{10}$이므로, 확률변수 $\displaystyle X$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}\left(100,\frac1{10}\right)$을 따른다.시행 횟수가 충분히 크므로 제시문 [마]에 의해 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}\left(100,\frac1{10}\right)$은 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(10,9)$로 근사할 수 있다. 그리고 $\displaystyle Z=\frac{X-10}3$이라 두면, $\displaystyle Z$는 표준정규분포를 따른다.$\displaystyle \mathrm{P}(X\ge k)=\mathrm{P}\left(\frac{X-10}3\ge\frac{k-10}3\right)=\mathrm{P}\left(Z\ge\frac{k-10}3\right)$이므로 문항에 주어진 표준정규분포표에서 $\displaystyle \mathrm{P}\left(Z\ge\frac{k-10}3\right)\ge0.23$을 만족하는 가장 큰 $\displaystyle \frac{k-10}3$의 값은 $\displaystyle 0.7$이고, 이 경우 $\displaystyle k=12.1$이다. $\displaystyle k$는 자연수이므로, $\displaystyle 12$회 이상 $\displaystyle 1$이 나올 확률은 $\displaystyle 0.23$보다 크다는 것을 알 수 있다. $\displaystyle 13$회 이상 $\displaystyle 1$이 나올 확률을 문항에 주어진 표준정규분포표를 이용해서 구해보면$\displaystyle \mathrm{P}(X\ge13)=\mathrm{P}\left(Z\ge\frac{13-10}3\right)=\mathrm{P}(Z\ge1)=0.1587$따라서 $\displaystyle k$의 최댓값은 $\displaystyle 12$이다.