자연계열 (2차) 2번

【2-1】 함수 $\displaystyle d(x)=\sqrt{x^2+(e^x-1)^2}$이고 무리수 $\displaystyle e$의 정의로부터 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}x=1$이다. 우극한을 구하면$\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{x^2+(e^x-1)^2}}x=\lim_{x\to0^+}\sqrt{\frac{x^2+(e^x-1)^2}{x^2}}=\lim_{x\to0^+}\sqrt{1+\left(\frac{e^x-1}x\right)^2}=\sqrt2$$\displaystyle x=-t$로 치환하여 좌극한을 구하면$\displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{d(x)}x=\lim_{x\to0^-}\frac{\sqrt{x^2+(e^x-1)^2}}x=\lim_{t\to0^+}\frac{\sqrt{t^2+(e^{-t}-1)^2}}{-t}=-\lim_{t\to0^+}\sqrt{1+\left(\frac{e^{-t}-1}{-t}\right)^2}=-\sqrt2$우극한과 좌극한의 값이 다르므로 제시문 [가]에 의해 극한값은 존재하지 않는다.

【2-2】 $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle \frac d{dx}x^p=px^{p-1}$이므로 $\displaystyle l(x)=pc^{p-1}(x-c)+c^p=pc^{p-1}x+(1-p)c^p$이다. $\displaystyle f(x)=l(x)-x^p\ (x>0)$라 하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=p(c^{p-1}-x^{p-1})$이고 $\displaystyle f(c)=f^{\prime}(c)=0$이다. $\displaystyle 0<x<c$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이고 $\displaystyle x>c$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로, 제시문 [나]에 의해 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle 0<x<c$일 때 감소하고 $\displaystyle x>c$일 때 증가한다. 따라서 $\displaystyle x>0$에서 $\displaystyle f(x)=l(x)-x^p\ge0$이다. $\displaystyle x=0$일 때 $\displaystyle l(0)=(1-p)c^p>0^p$이므로 $\displaystyle x\ge0$에서 부등식이 성립한다.제시문 [다]를 바탕으로 함수 $\displaystyle y=x^p$의 정의역 및 치역, 증감, 볼록, 극한을 조사한다. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}x^p=\infty$이므로 정의역과 치역은 모두 $\displaystyle [0,\infty)$이다. $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle \frac d{dx}x^p=px^{p-1}>0$, $\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}x^p=p(p-1)x^{p-2}<0$이므로 함수 $\displaystyle y=x^p$의 그래프는 증가하면서 위로 볼록이다. 그리고 $\displaystyle l(x)\ge x^p$이므로 두 함수 $\displaystyle y=x^p$, $\displaystyle y=l(x)$의 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다.

【2-3】 제시문 [라]와 문항 【2-2】의 부등식으로부터 도형의 넓이는$\displaystyle h(c)=\int_0^1\{pc^{p-1}x-(p-1)c^p-x^p\}\,dx=\frac p2c^{p-1}-(p-1)c^p-\frac1{p+1}$이다. $\displaystyle h(c)$의 최솟값을 구하기 위해 함수 $\displaystyle h$를 미분하면,$\displaystyle h^{\prime}(c)=\frac{p(p-1)}2c^{p-2}-p(p-1)c^{p-1}=p(p-1)c^{p-2}\left(\frac12-c\right)$이므로 $\displaystyle h^{\prime}\left(\frac12\right)=0$이고 $\displaystyle 0<c<\frac12$일 때 $\displaystyle h^{\prime}(c)<0$, $\displaystyle c>\frac12$일 때 $\displaystyle h^{\prime}(c)>0$이다. 따라서 제시문 [나]에 의해 $\displaystyle h(c)$는 $\displaystyle 0<c<\frac12$일 때 감소, $\displaystyle c>\frac12$일 때 증가한다. 따라서 $\displaystyle c=\frac12$에서 넓이가 최소가 된다.

【2-4】 문항 【2-2】로부터 $\displaystyle 0\le x<\frac1e$ 또는 $\displaystyle x>\frac1e$일 때, $\displaystyle l(x)>x^p$이므로, $\displaystyle S(p)$와 $\displaystyle R(p)$는 아래 그림의 도형 $\displaystyle \mathrm{A}$와 $\displaystyle \mathrm{B}$의 넓이가 된다.

제시문 [라]에 의해$\displaystyle S(p)=\int_0^{\frac1e}p\left(\frac1e\right)^{p-1}x-(p-1)\left(\frac1e\right)^p-x^p\,dx=\left\{\frac p2-(p-1)-\frac1{p+1}\right\}\left(\frac1e\right)^{p+1}=\frac{p(1-p)}{2(p+1)}\left(\frac1e\right)^{p+1}$문항 【2-3】에 의해 $\displaystyle S(p)+R(p)=h\left(\frac1e\right)=\left(\frac e2p-p+1\right)\left(\frac1e\right)^p-\frac1{p+1}$이다. 따라서$\displaystyle \frac{S(p)+R(p)}{S(p)}=\frac{e\{p^2(e-2)+ep+2(1-e^p)\}}{p(1-p)}=\frac e{1-p}\left\{p(e-2)+e-2\frac{e^p-1}p\right\}$$\displaystyle \lim_{p\to0}\frac{e^p-1}p=1$이므로 $\displaystyle \lim_{p\to0^+}\frac{S(p)+R(p)}{S(p)}=e^2-2e$이다.