자연계열 (2차) 1번

【1-1】 아래 그림에서와 같이 두 점 $\displaystyle \mathrm{O}$, $\displaystyle \mathrm{A}$를 지나는 직선이 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$를 지나는 직선과 이루는 각 중 예각의 크기는 $\displaystyle \beta-\alpha$이므로 이등변삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 두 밑각의 크기는 $\displaystyle \frac{\beta-\alpha}2=\frac\pi{12}$이다. 따라서 두 점 $\displaystyle \mathrm{O}$, $\displaystyle \mathrm{B}$를 지나는 직선과 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 $\displaystyle \alpha+\frac{\beta-\alpha}2=\frac\pi{12}+\frac\pi{12}=\frac\pi6$이고, 이 직선에 수직인 직선의 기울기는 $\displaystyle \tan\left(\frac\pi2+\frac\pi6\right)=-\cot\frac\pi6$이므로 직선의 기울기는 $\displaystyle -\sqrt3$이다.

【1-2】 직선 $\displaystyle s$위에 있고 점 $\displaystyle (1,0)$으로부터의 거리가 $\displaystyle 1$인 $\displaystyle 1$사분면 위의 점을 $\displaystyle \mathrm{B}$라 하자. 그러면 두 점 $\displaystyle \mathrm{C}$, $\displaystyle (1,0)$을 지나는 직선과 두 점 $\displaystyle \mathrm{O}$, $\displaystyle \mathrm{B}$를 지나는 직선은 항상 수직임을 알 수 있다. 따라서 원들의 중심을 모두 지나는 직선의 기울기는 문항 【1-1】 풀이에서 $\displaystyle \alpha=0$, $\displaystyle \beta=\frac\pi3$인 경우이므로 $\displaystyle -\cot\frac\pi6=-\sqrt3$이다. 그리고 이 직선이 점 $\displaystyle (1,0)$을 지나기 때문에 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-\sqrt3(x-1)$이다. 원의 중심의 $\displaystyle y$좌표를 $\displaystyle b$라고 하면원의 중심의 좌표는 $\displaystyle \left(1-\frac b{\sqrt3},b\right)$이고, 이 원의 중심과 직선 $\displaystyle 5x-12y=0$의 거리는 제시문 [가]에 의해 $\displaystyle \frac1{13}\left|5\left(1-\frac b{\sqrt3}\right)-12b\right|$이다. 이 거리와 원의 반지름의 길이가 같을 때 직선이 원에 접하므로, $\displaystyle 13b=\left|5\left(1-\frac b{\sqrt3}\right)-12b\right|$이다. $\displaystyle 5\left(1-\frac b{\sqrt3}\right)-12b<0$이면 $\displaystyle b=\frac{25\sqrt3+15}{22}$이고 이때 원의 중심의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle a=1-\frac b{\sqrt3}=1-\frac{25\sqrt3+15}{22\sqrt3}<0$이므로 $\displaystyle x$축, 직선 $\displaystyle s$, $\displaystyle y=\frac5{12}x$로 이루어진 삼각형에 내접원이 될 수 없다. $\displaystyle 5\left(1-\frac b{\sqrt3}\right)-12b>0$이면 $\displaystyle b=\frac{15-\sqrt3}{74}$이고 반지름의 길이는 $\displaystyle r=\frac{15-\sqrt3}{74}$이다. 따라서 $\displaystyle x$축, 직선 $\displaystyle s$, $\displaystyle y=\frac5{12}x$로 이루어진 삼각형에 내접하는 원의 반지름의 길이는 $\displaystyle r=\frac{15-\sqrt3}{74}$이다.

【1-3】 점 $\displaystyle (1,0)$을 $\displaystyle \mathrm{A}$라 하면 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{CPA}$와 $\displaystyle \mathrm{CQA}$는 합동인 직각삼각형이다. 따라서 원의 반지름의 길이를 $\displaystyle r$라 하면, $\displaystyle r\tan\frac\beta2=r\tan\frac\pi6=1-\frac n{100}$이므로 $\displaystyle r=\sqrt3\left(1-\frac n{100}\right)$이다. 따라서 호 $\displaystyle \mathrm{PQ}$의 길이는 $\displaystyle l_n=r\theta=\frac{\sqrt3\pi}3\left(1-\frac n{100}\right)$이고$\displaystyle \sum_{n=1}^{99}l_n=\sum_{n=1}^{99}\frac{\sqrt3\pi}3\left(1-\frac n{100}\right)=\frac{\sqrt3\pi}3\left(99-\sum_{n=1}^{99}\frac n{100}\right)=\frac{33\sqrt3\pi}2$

【1-4】 문항 【1-3】의 풀이에서 원과 $\displaystyle x$축과의 접점이 $\displaystyle (1-d,0)$일 때, 원의 반지름의 길이 $\displaystyle r=\frac d{\tan\frac\beta2}$이므로 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{CPQ}$의 넓이는 $\displaystyle S(\beta)=\frac12r^2\beta=\frac{d^2\beta}{2\tan^2\frac\beta2}$이다. 따라서, 제시문 [다]에 의해$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{\beta\to0^+}S(\beta)\tan\beta&=\lim_{\beta\to0^+}\frac{d^2\beta}{2\tan^2\frac\beta2}\tan\beta=\lim_{\beta\to0^+}\frac{4d^2\left(\frac\beta2\right)^2\tan\beta}{2\tan^2\frac\beta2\,\beta}\\&=\lim_{\beta\to0^+}\frac{4d^2\left(\frac\beta2\right)^2\cos^2\frac\beta2}{2\sin^2\frac\beta2}\frac{\sin\beta}{\beta\cos\beta}=2d^2\end{aligned}$$\displaystyle d=\frac34$이므로 $\displaystyle \lim_{\beta\to0^+}S(\beta)\tan\beta=\frac98$이다.