자연계열 (1차) 1번

【1-1】 세 조건에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{CP}}=6$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}+\overline{\mathrm{CP}}=8$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}-\overline{\mathrm{AP}}=2$이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 점 $\displaystyle \mathrm{A}$와 점 $\displaystyle \mathrm{B}$로부터의 거리의 차가 $\displaystyle 2$인 쌍곡선 위에 있다. 점 $\displaystyle \mathrm{A}(5,0)$과 점 $\displaystyle \mathrm{B}(-5,0)$은 쌍곡선의 두 초점이고, 거리의 차는 $\displaystyle 2$이므로 제시문 [나]에 의해 쌍곡선의 방정식은$\displaystyle x^2-\frac{y^2}{24}=1$

【1-2】 제 $\displaystyle 2$사분면에 있는 쌍곡선 위의 한 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(x_2,y_2)$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle x_2x-\frac{y_2y}{24}=1$점 $\displaystyle \mathrm{R}$의 좌표는 $\displaystyle \left(0,-\frac{24}{y_2}\right)$이고, $\displaystyle x_2^2-\frac{y_2^2}{24}=1$을 이용하면$\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}^2=x_2^2+\left(y_2+\frac{24}{y_2}\right)^2=49+\frac{25}{24}y_2^2+\frac{24^2}{y_2^2}$산술평균과 기하평균을 이용하여 절대부등식을 적용하면,$\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}^2=49+\frac{25}{24}y_2^2+\frac{24^2}{y_2^2}\ge49+2\sqrt{\frac{25}{24}y_2^2\times\frac{24^2}{y_2^2}}=49+20\sqrt6$이고, $\displaystyle \frac{25}{24}y_2^2=\frac{24^2}{y_2^2}$일 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}^2$이 최소이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}$도 최소이다. $\displaystyle \frac{25}{24}y_2^2=\frac{24^2}{y_2^2}$을 풀면, $\displaystyle y_2^2=\frac{48\sqrt6}{5}$이고 $\displaystyle x_2^2=1+\frac{y_2^2}{24}=1+\frac{2\sqrt6}{5}$이므로, 구하는 $\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}}^2$의 값은$\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}}^2=x_2^2+y_2^2=1+10\sqrt6$

【1-3】 점 $\displaystyle \mathrm{C}$와 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 일치하면, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=10$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=8$, $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}}=6$이고 $\displaystyle \angle\mathrm{C}=\frac\pi2$인 직각삼각형이다. 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$가 빗변 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 중점이므로 세 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$, $\displaystyle \mathrm{C}$는 중심이 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$이고 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$가 지름인 원 위에 있다. 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$에서 $\displaystyle \angle\mathrm{B}=\theta$라 하면 $\displaystyle \sin\theta=\frac35$이다. 또한 $\displaystyle \angle\mathrm{DOC}=\alpha$이므로 $\displaystyle \angle\mathrm{BOC}=\frac\pi2+\alpha$이다. 선분 $\displaystyle \mathrm{OC}$는 원의 반지름이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OC}}=5$이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BOC}$에 사인법칙을 적용하면$\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{OC}}}{\sin\theta}=\frac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin\left(\frac\pi2+\alpha\right)}$이므로$\displaystyle \cos\alpha=\sin\left(\frac\pi2+\alpha\right)=\overline{\mathrm{BC}}\times\frac{\sin\theta}{\overline{\mathrm{OC}}}=\frac{24}{25}$

【1-4】 쌍곡선의 정의에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=x$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}=x+2$이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABP}$에서 코사인법칙을 적용하면$\displaystyle (x+2)^2=x^2+10^2-20x\cos\theta$이므로$\displaystyle x=\frac{24}{5\cos\theta+1}$따라서, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BCP}$의 넓이 $\displaystyle f(\theta)$는$\displaystyle f(\theta)=$ (삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이) $\displaystyle -$ (삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABP}$의 넓이)$\displaystyle \begin{aligned}&=\frac12\times6\times10\times\sin\theta-\frac12\times10\times\frac{24}{5\cos\theta+1}\times\sin\theta\\&=30\sin\theta-\frac{120\sin\theta}{5\cos\theta+1}\end{aligned}$$\displaystyle f(\theta)$의 도함수를 구하면,$\displaystyle f^{\prime}(\theta)=30\cos\theta-120\frac{\cos\theta+5}{(5\cos\theta+1)^2}$$\displaystyle \cos\beta=\frac45$이므로$\displaystyle f^{\prime}(\beta)=-\frac{96}{25}$