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자연계열 (1차) 2번

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서강대 2025학년도 수시 자연계열 (1차) 2번 · mathesis.kr/archive/sogang/2025su/jayeon1_2

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문제

[가] x\displaystyle x의 값의 범위가 α≤x≤β\displaystyle \alpha\le x\le\beta일 때, 이차함수 f(x)=a(x−p)2+q\displaystyle f(x)=a(x-p)^2+q의 최댓값과 최솟값은 다음과 같다.① 꼭짓점의 x\displaystyle x좌표 p\displaystyle p가 x\displaystyle x의 값의 범위 α≤x≤β\displaystyle \alpha\le x\le\beta에 속하면 f(α)\displaystyle f(\alpha), f(β)\displaystyle f(\beta), f(p)\displaystyle f(p) 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.② 꼭짓점의 x\displaystyle x좌표 p\displaystyle p가 x\displaystyle x의 값의 범위에 속하지 않으면 f(α)\displaystyle f(\alpha), f(β)\displaystyle f(\beta) 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.

[나] 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 x=a\displaystyle x=a에서의 극한값이 L\displaystyle L이면 x=a\displaystyle x=a에서의 우극한과 좌극한이 모두 존재하고 그 값은 모두 L\displaystyle L과 같다. 또 그 역도 성립한다. 즉, 다음이 성립한다.lim⁡x→af(x)=L⇔lim⁡x→a+f(x)=lim⁡x→a−f(x)=L\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L\quad\Leftrightarrow\quad\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=L

[다] 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 정의되어 있고 lim⁡x→af(x)\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)가 존재하며 lim⁡x→af(x)=f(a)\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)일 때, 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 연속이라고 한다. 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 어떤 구간에 속하는 모든 x\displaystyle x에서 연속이면 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 그 구간에서 연속이라고 한다.

[라] 함수 f(x)\displaystyle f(x)에서 극한값lim⁡x→af(x)−f(a)x−a\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}가 존재하면 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능하다고 한다. 또한 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 어떤 구간에 속하는 모든 x\displaystyle x에서 미분가능하면 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 그 구간에서 미분가능하다고 한다.

제시문 [가]~[라]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

양의 실수 t\displaystyle t에 대하여 함수 g(θ)=(4cos⁡θ−3t)2+4t2sin⁡2θ (0≤θ<2π)\displaystyle g(\theta)=\sqrt{(4\cos\theta-3t)^2+4t^2\sin^2\theta}\ (0\le\theta<2\pi)의 최솟값을 f(t)\displaystyle f(t)라고 하자.

【2-1】 f(1)\displaystyle f(1)의 값을 구하시오.

【2-2】 0<t<1\displaystyle 0<t<1일 때, f(t)\displaystyle f(t)를 구하시오.

【2-3】 t>1\displaystyle t>1일 때, f(t)\displaystyle f(t)를 구하시오.

【2-4】 함수 f(t)\displaystyle f(t)의 t=1\displaystyle t=1에서의 연속성과 미분가능성을 조사하시오.

해설강의 준비중

서강대 2025학년도 수시 자연계열 (1차) 2번 · mathesis.kr/archive/sogang/2025su/jayeon1_2

x=cos⁡θ (0≤θ<2π)\displaystyle x=\cos\theta\ (0\le\theta<2\pi), h(x)={g(θ)}2\displaystyle h(x)=\{g(\theta)\}^2이라 하면, −1≤x≤1\displaystyle -1\le x\le1이고h(x)=(4x−3t)2+4t2(1−x2)=4(4−t2)x2−24tx+13t2\displaystyle h(x)=(4x-3t)^2+4t^2(1-x^2)=4(4-t^2)x^2-24tx+13t^2이므로 구간 [−1,1]\displaystyle [-1,1]에서 함수 h(x)\displaystyle h(x)의 최솟값의 양의 제곱근이 f(t)\displaystyle f(t)가 된다. 제시문 [가]를 이용하여, 아래 【2-1】, 【2-2】, 【2-3】의 예시답안에서 t=1\displaystyle t=1, 0<t<1\displaystyle 0<t<1, t>1\displaystyle t>1인 경우에 대하여 f(t)\displaystyle f(t)를 각각 구한다.Caution. 양수와 음이 아닌 수, 음수와 양이 아닌 수를 구별해야 한다: 이 문제에서는 t=43\displaystyle t=\frac43일 때 최솟값이 0\displaystyle 0이므로, ‘양의 제곱근’은 ‘음이 아닌 제곱근’으로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

· 문항 【2-1】은 주어진 삼각함수의 최대·최소 문제를 간단한 치환을 통하여 이차함수의 최대·최소 문제로 바꿀 수 있는지를 평가하는 문항이다. 또한 가장 쉬운 경우에 대한 문제를 해결하기 위하여 제시문 [가]의 내용을 올바르게 활용하는지를 평가한다.

【2-1】 t=1\displaystyle t=1이라고 하면,h(x)=12x2−24x+13=12(x−1)2+1\displaystyle h(x)=12x^2-24x+13=12(x-1)^2+1이므로 함수 h(x)\displaystyle h(x)는 꼭짓점의 x\displaystyle x좌표가 1\displaystyle 1이고 최고차항의 계수가 양인 이차함수이다. 따라서 구간 [−1,1]\displaystyle [-1,1]에서 함수 h(x)\displaystyle h(x)는 최솟값 h(1)=1\displaystyle h(1)=1을 가진다. 그러므로f(1)=1=1\displaystyle f(1)=\sqrt1=1

· 문항 【2-2】에서도 삼각함수의 최대·최소 문제를 치환을 통하여 이차함수의 최대·최소 문제로 바꿀 수 있는지 평가한다. 문항 【2-1】보다는 조금 더 일반적인 상황에서도 제시문 [가]를 활용하여 구간에서의 이차함수의 최솟값을 올바르게 구할 수 있는지 평가한다.

【2-2】 0<t<1\displaystyle 0<t<1이라고 하자. 그러면 4−t2>0\displaystyle 4-t^2>0이고h(x)=4(4−t2)(x−3t4−t2)2+t2(16−13t2)4−t2\displaystyle h(x)=4(4-t^2)\left(x-\frac{3t}{4-t^2}\right)^2+\frac{t^2(16-13t^2)}{4-t^2}이므로 함수 h(x)\displaystyle h(x)는 꼭짓점의 x\displaystyle x좌표가 3t4−t2\displaystyle \frac{3t}{4-t^2}이고 최고차항의 계수가 양인 이차함수이다.또한 t2+3t−4=(t−1)(t+4)<0\displaystyle t^2+3t-4=(t-1)(t+4)<0이므로 0<3t4−t2<1\displaystyle 0<\frac{3t}{4-t^2}<1이다. 따라서 구간 [−1,1]\displaystyle [-1,1]에서 함수 h(x)\displaystyle h(x)의 최솟값은h(3t4−t2)=t2(16−13t2)4−t2\displaystyle h\left(\frac{3t}{4-t^2}\right)=\frac{t^2(16-13t^2)}{4-t^2}따라서f(t)=t16−13t24−t2\displaystyle f(t)=\frac{t\sqrt{16-13t^2}}{\sqrt{4-t^2}}

· 문항 【2-3】은 구간에서의 이차함수의 최솟값을 구하기 위하여 꼭짓점의 x\displaystyle x좌표에 따라 이차함수의 그래프가 어떻게 변하는지 정확하게 이해하고 있는지 평가하는 문항이다. 역시 제시문 [가]를 활용하여 꼭짓점의 x\displaystyle x좌표에 따른 구간에서의 이차함수의 최솟값을 올바르게 구할 수 있는지 평가한다.

【2-3】 t>1\displaystyle t>1이라고 하자. 이때 t2+3t−4=(t−1)(t+4)>0\displaystyle t^2+3t-4=(t-1)(t+4)>0이다.(ⅰ) t=2\displaystyle t=2인 경우: h(x)=−48x+52\displaystyle h(x)=-48x+52이므로 함수 h(x)\displaystyle h(x)는 기울기가 −48\displaystyle -48인 일차함수이다. 따라서 구간 [−1,1]\displaystyle [-1,1]에서의 함수 h(x)\displaystyle h(x)는 최솟값 h(1)=4\displaystyle h(1)=4를 가진다. 따라서f(2)=4=2\displaystyle f(2)=\sqrt4=2(ⅱ) 1<t<2\displaystyle 1<t<2인 경우:h(x)=4(4−t2)(x−3t4−t2)2+t2(16−13t2)4−t2\displaystyle h(x)=4(4-t^2)\left(x-\frac{3t}{4-t^2}\right)^2+\frac{t^2(16-13t^2)}{4-t^2}이므로 함수 h(x)\displaystyle h(x)는 꼭짓점의 x\displaystyle x좌표가 3t4−t2\displaystyle \frac{3t}{4-t^2}이고 최고차항의 계수가 양인 이차함수이다. 3t4−t2>1\displaystyle \frac{3t}{4-t^2}>1이므로 구간 [−1,1]\displaystyle [-1,1]에서 함수 h(x)\displaystyle h(x)의 최솟값은 h(1)=(4−3t)2\displaystyle h(1)=(4-3t)^2이다. 따라서f(t)=(4−3t)2=∣4−3t∣\displaystyle f(t)=\sqrt{(4-3t)^2}=|4-3t|(ⅲ) t>2\displaystyle t>2인 경우: 함수 h(x)\displaystyle h(x)는 꼭짓점의 x\displaystyle x좌표가 3t4−t2\displaystyle \frac{3t}{4-t^2}이고 최고차항의 계수가 음인 이차함수이다. 3t4−t2<0\displaystyle \frac{3t}{4-t^2}<0이므로 구간 [−1,1]\displaystyle [-1,1]에서 함수 h(x)\displaystyle h(x)의 최솟값은 h(1)=(4−3t)2\displaystyle h(1)=(4-3t)^2이다. 그러므로f(t)=(4−3t)2=∣4−3t∣\displaystyle f(t)=\sqrt{(4-3t)^2}=|4-3t|(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)을 종합하면,t>1\displaystyle t>1일 때, f(t)=∣4−3t∣\displaystyle f(t)=|4-3t|

· 문항 【2-4】는 문항 【2-1】~【2-3】의 결과로 주어지는 함수에 대하여 함수의 연속성과 미분가능성의 개념을 정확하게 이해하고 있는지 평가하는 문항이다. 이를 위해서 제시문 [나]~[라]의 함수의 극한, 연속성 및 미분가능성의 정의를 적절하게 활용할 수 있는지 평가한다.

【2-4】 문항 【2-1】~【2-3】의 예시답안으로부터f(t)={t16−13t24−t2(0<t<1)4−3t(1≤t<43)\displaystyle f(t)=\begin{cases}\dfrac{t\sqrt{16-13t^2}}{\sqrt{4-t^2}}&(0<t<1)\\4-3t&\left(1\le t<\dfrac43\right)\end{cases}(ⅰ) t=1\displaystyle t=1에서의 연속성을 조사하면,lim⁡t→1−f(t)=lim⁡t→1−t16−13t24−t2=1,lim⁡t→1+f(t)=lim⁡t→1+(4−3t)=1,f(1)=1\displaystyle \lim_{t\to1^-}f(t)=\lim_{t\to1^-}\frac{t\sqrt{16-13t^2}}{\sqrt{4-t^2}}=1,\quad\lim_{t\to1^+}f(t)=\lim_{t\to1^+}(4-3t)=1,\quad f(1)=1이므로 제시문 [나]와 [다]에 의해, 함수 f(t)\displaystyle f(t)는 t=1\displaystyle t=1에서 연속이다.(ⅱ) 함수 f(t)\displaystyle f(t)의 t=1\displaystyle t=1에서의 미분가능성을 조사한다. 우선lim⁡t→1+f(t)−f(1)t−1=lim⁡t→1+(4−3t)−1t−1=−3\displaystyle \lim_{t\to1^+}\frac{f(t)-f(1)}{t-1}=\lim_{t\to1^+}\frac{(4-3t)-1}{t-1}=-3또한, 0<t<1\displaystyle 0<t<1일 때f(t)−f(1)t−1=1t−1(t16−13t24−t2−1)=t16−13t2−4−t2(t−1)4−t2=t2(16−13t2)−(4−t2)(t−1)4−t2(t16−13t2+4−t2)=(4−13t2)(t+1)4−t2(t16−13t2+4−t2)\displaystyle \begin{aligned}\frac{f(t)-f(1)}{t-1}&=\frac1{t-1}\left(\frac{t\sqrt{16-13t^2}}{\sqrt{4-t^2}}-1\right)=\frac{t\sqrt{16-13t^2}-\sqrt{4-t^2}}{(t-1)\sqrt{4-t^2}}\\&=\frac{t^2(16-13t^2)-(4-t^2)}{(t-1)\sqrt{4-t^2}\left(t\sqrt{16-13t^2}+\sqrt{4-t^2}\right)}\\&=\frac{(4-13t^2)(t+1)}{\sqrt{4-t^2}\left(t\sqrt{16-13t^2}+\sqrt{4-t^2}\right)}\end{aligned}이므로lim⁡t→1−f(t)−f(1)t−1=lim⁡t→1−(4−13t2)(t+1)4−t2(t16−13t2+4−t2)=−3\displaystyle \lim_{t\to1^-}\frac{f(t)-f(1)}{t-1}=\lim_{t\to1^-}\frac{(4-13t^2)(t+1)}{\sqrt{4-t^2}\left(t\sqrt{16-13t^2}+\sqrt{4-t^2}\right)}=-3따라서 제시문 [나]와 [라]에 의하여, 함수 f(t)\displaystyle f(t)는 t=1\displaystyle t=1에서 미분가능하다.

고등학교 필수 교육과정에 포함된 삼각함수와 이차함수의 최대·최소 문제, 그리고 함수의 연속성과 미분가능성에 대한 기본 개념을 이해하고 있는지를 평가한다. 특히, 삼각함수의 최대·최소 문제를 간단한 치환을 통해 이차함수의 구간 내 최대·최소 문제로 변환하고, 가장 쉬운 경우에서 점차 난이도가 높은 경우로 확장하며 문제를 해결하는 사고력을 평가한다. 마지막 문항에서는, 이차함수의 최대·최소 문제를 해결한 결과를 바탕으로 함수의 연속성과 미분가능성에 대해 고등학교 교육과정의 기본 개념을 정확히 이해하고 있는지를 확인한다. 구체적인 채점 기준은 다음과 같다.

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