자연계열 (1차) 2번

【2-1】 $\displaystyle t=1$이라고 하면,$\displaystyle h(x)=12x^2-24x+13=12(x-1)^2+1$이므로 함수 $\displaystyle h(x)$는 꼭짓점의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle 1$이고 최고차항의 계수가 양인 이차함수이다. 따라서 구간 $\displaystyle [-1,1]$에서 함수 $\displaystyle h(x)$는 최솟값 $\displaystyle h(1)=1$을 가진다. 그러므로$\displaystyle f(1)=\sqrt1=1$

【2-2】 $\displaystyle 0<t<1$이라고 하자. 그러면 $\displaystyle 4-t^2>0$이고$\displaystyle h(x)=4(4-t^2)\left(x-\frac{3t}{4-t^2}\right)^2+\frac{t^2(16-13t^2)}{4-t^2}$이므로 함수 $\displaystyle h(x)$는 꼭짓점의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle \frac{3t}{4-t^2}$이고 최고차항의 계수가 양인 이차함수이다.또한 $\displaystyle t^2+3t-4=(t-1)(t+4)<0$이므로 $\displaystyle 0<\frac{3t}{4-t^2}<1$이다. 따라서 구간 $\displaystyle [-1,1]$에서 함수 $\displaystyle h(x)$의 최솟값은$\displaystyle h\left(\frac{3t}{4-t^2}\right)=\frac{t^2(16-13t^2)}{4-t^2}$따라서$\displaystyle f(t)=\frac{t\sqrt{16-13t^2}}{\sqrt{4-t^2}}$

【2-3】 $\displaystyle t>1$이라고 하자. 이때 $\displaystyle t^2+3t-4=(t-1)(t+4)>0$이다.(ⅰ) $\displaystyle t=2$인 경우: $\displaystyle h(x)=-48x+52$이므로 함수 $\displaystyle h(x)$는 기울기가 $\displaystyle -48$인 일차함수이다. 따라서 구간 $\displaystyle [-1,1]$에서의 함수 $\displaystyle h(x)$는 최솟값 $\displaystyle h(1)=4$를 가진다. 따라서$\displaystyle f(2)=\sqrt4=2$(ⅱ) $\displaystyle 1<t<2$인 경우:$\displaystyle h(x)=4(4-t^2)\left(x-\frac{3t}{4-t^2}\right)^2+\frac{t^2(16-13t^2)}{4-t^2}$이므로 함수 $\displaystyle h(x)$는 꼭짓점의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle \frac{3t}{4-t^2}$이고 최고차항의 계수가 양인 이차함수이다. $\displaystyle \frac{3t}{4-t^2}>1$이므로 구간 $\displaystyle [-1,1]$에서 함수 $\displaystyle h(x)$의 최솟값은 $\displaystyle h(1)=(4-3t)^2$이다. 따라서$\displaystyle f(t)=\sqrt{(4-3t)^2}=|4-3t|$(ⅲ) $\displaystyle t>2$인 경우: 함수 $\displaystyle h(x)$는 꼭짓점의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle \frac{3t}{4-t^2}$이고 최고차항의 계수가 음인 이차함수이다. $\displaystyle \frac{3t}{4-t^2}<0$이므로 구간 $\displaystyle [-1,1]$에서 함수 $\displaystyle h(x)$의 최솟값은 $\displaystyle h(1)=(4-3t)^2$이다. 그러므로$\displaystyle f(t)=\sqrt{(4-3t)^2}=|4-3t|$(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)을 종합하면,$\displaystyle t>1$일 때, $\displaystyle f(t)=|4-3t|$

【2-4】 문항 【2-1】~【2-3】의 예시답안으로부터$\displaystyle f(t)=\begin{cases}\dfrac{t\sqrt{16-13t^2}}{\sqrt{4-t^2}}&(0<t<1)\\4-3t&\left(1\le t<\dfrac43\right)\end{cases}$(ⅰ) $\displaystyle t=1$에서의 연속성을 조사하면,$\displaystyle \lim_{t\to1^-}f(t)=\lim_{t\to1^-}\frac{t\sqrt{16-13t^2}}{\sqrt{4-t^2}}=1,\quad\lim_{t\to1^+}f(t)=\lim_{t\to1^+}(4-3t)=1,\quad f(1)=1$이므로 제시문 [나]와 [다]에 의해, 함수 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle t=1$에서 연속이다.(ⅱ) 함수 $\displaystyle f(t)$의 $\displaystyle t=1$에서의 미분가능성을 조사한다. 우선$\displaystyle \lim_{t\to1^+}\frac{f(t)-f(1)}{t-1}=\lim_{t\to1^+}\frac{(4-3t)-1}{t-1}=-3$또한, $\displaystyle 0<t<1$일 때$\displaystyle \begin{aligned}\frac{f(t)-f(1)}{t-1}&=\frac1{t-1}\left(\frac{t\sqrt{16-13t^2}}{\sqrt{4-t^2}}-1\right)=\frac{t\sqrt{16-13t^2}-\sqrt{4-t^2}}{(t-1)\sqrt{4-t^2}}\\&=\frac{t^2(16-13t^2)-(4-t^2)}{(t-1)\sqrt{4-t^2}\left(t\sqrt{16-13t^2}+\sqrt{4-t^2}\right)}\\&=\frac{(4-13t^2)(t+1)}{\sqrt{4-t^2}\left(t\sqrt{16-13t^2}+\sqrt{4-t^2}\right)}\end{aligned}$이므로$\displaystyle \lim_{t\to1^-}\frac{f(t)-f(1)}{t-1}=\lim_{t\to1^-}\frac{(4-13t^2)(t+1)}{\sqrt{4-t^2}\left(t\sqrt{16-13t^2}+\sqrt{4-t^2}\right)}=-3$따라서 제시문 [나]와 [라]에 의하여, 함수 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle t=1$에서 미분가능하다.