자연계열 (2차) 2번

【2-1】 $\displaystyle f(x)=10x$이므로 $\displaystyle g(x)=10x+|\cos10x|$이고$\displaystyle \int_0^\pi g(x)\,dx=\int_0^\pi(10x+|\cos10x|)\,dx=5\pi^2+\int_0^\pi|\cos10x|\,dx$$\displaystyle y=|\cos10x|$는 주기가 $\displaystyle \frac\pi{10}$인 주기함수이므로$\displaystyle \int_0^\pi|\cos10x|\,dx=10\int_0^{\frac\pi{10}}|\cos10x|\,dx=10\left(\int_0^{\frac\pi{20}}\cos10x\,dx-\int_{\frac\pi{20}}^{\frac\pi{10}}\cos10x\,dx\right)=2$따라서$\displaystyle \int_0^\pi g(x)\,dx=5\pi^2+2$

【2-2】 $\displaystyle g(x)=x+|\cos x|=\begin{cases}x+\cos x&\left(0\le x\le\frac\pi2\right)\\x-\cos x&\left(\frac\pi2<x\le\pi\right)\end{cases}$이므로 함수 $\displaystyle g(x)$는 구간 $\displaystyle \left(0,\frac\pi2\right)$와 $\displaystyle \left(\frac\pi2,\pi\right)$에서 미분가능하다. $\displaystyle x=\frac\pi2$에서의 미분가능성을 조사하면$\displaystyle \lim_{h\to0^-}\frac{g\left(\frac\pi2+h\right)-g\left(\frac\pi2\right)}h=\lim_{h\to0^-}\frac{h-\sin h}h=0,\quad\lim_{h\to0^+}\frac{g\left(\frac\pi2+h\right)-g\left(\frac\pi2\right)}h=\lim_{h\to0^+}\frac{h+\sin h}h=2$이므로 제시문 [다]에 의해 $\displaystyle x=\frac\pi2$에서 미분가능하지 않다.함수 $\displaystyle g(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right]$에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle \left(0,\frac\pi2\right)$에서 $\displaystyle g^{\prime}(x)=1-\sin x>0$이므로 제시문 [나]에 의해 닫힌구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right]$에서 증가한다. 또한, $\displaystyle g(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle \left[\frac\pi2,\pi\right]$에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle \left(\frac\pi2,\pi\right)$에서 $\displaystyle g^{\prime}(x)=1+\sin x>0$이므로, 닫힌구간 $\displaystyle \left[\frac\pi2,\pi\right]$에서 증가한다. 따라서 $\displaystyle g(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [0,\pi]$에서 증가한다.

【2-3】 $\displaystyle h(x)=g(x)-kx+\frac\pi2(k-1)$이라고 하자. $\displaystyle h\left(\frac\pi2\right)=g\left(\frac\pi2\right)-\frac\pi2=0$이므로 $\displaystyle x=\frac\pi2$는 방정식 $\displaystyle h(x)=0$의 근이다. 따라서 구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right)$와 $\displaystyle \left(\frac\pi2,\pi\right]$에서 방정식 $\displaystyle h(x)=0$의 근이 존재하지 않는 양의 실수 $\displaystyle k$의 범위를 구하면 된다.(1) 구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right)$의 경우: $\displaystyle 0<x<\frac\pi2$이면 $\displaystyle h^{\prime}(x)=1-\sin x-k$이다.(1-1) $\displaystyle k\ge1$일 때, 구간 $\displaystyle \left(0,\frac\pi2\right)$에서 $\displaystyle h^{\prime}(x)<0$이므로 함수 $\displaystyle h(x)$는 구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right]$에서 감소한다. 따라서 $\displaystyle 0\le x<\frac\pi2$일 때, $\displaystyle h(x)>h\left(\frac\pi2\right)=0$이므로 방정식 $\displaystyle h(x)=0$은 구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right)$에서 근을 갖지 않는다. (1-2) $\displaystyle 0<k<1$일 때, $\displaystyle h^{\prime}(\alpha)=1-\sin\alpha-k=0$이 되는 $\displaystyle \alpha$가 구간 $\displaystyle \left(0,\frac\pi2\right)$에 존재하고 구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right]$에서 함수 $\displaystyle h(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}x&0&\cdots&\alpha&\cdots&\frac\pi2\\\hline h^{\prime}(x)&&+&0&-&\\\hline h(x)&1+\frac\pi2(k-1)&\nearrow&h(\alpha)&\searrow&0\end{array}$$\displaystyle 0<k\le1-\frac2\pi$이면 $\displaystyle h(0)\le0$이므로 방정식 $\displaystyle h(x)=0$이 구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right)$에서 근을 갖는다.$\displaystyle 1-\frac2\pi<k<1$이면 $\displaystyle h(0)>0$이므로 방정식 $\displaystyle h(x)=0$이 구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right)$에서 근을 갖지 않는다.따라서 (1-1)과 (1-2)에 의해 $\displaystyle k>1-\frac2\pi$일 때, 방정식 $\displaystyle h(x)=0$은 구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right)$에서 근을 갖지 않는다.(2) 구간 $\displaystyle \left(\frac\pi2,\pi\right]$의 경우: $\displaystyle \frac\pi2<x<\pi$에서 $\displaystyle h^{\prime}(x)=1+\sin x-k$이다.(2-1) $\displaystyle 0<k\le1$일 때, 함수 $\displaystyle h(x)$는 구간 $\displaystyle \left[\frac\pi2,\pi\right]$에서 증가하므로 방정식 $\displaystyle h(x)=0$은 구간 $\displaystyle \left(\frac\pi2,\pi\right]$에서 근을 갖지 않는다.(2-2) $\displaystyle k\ge2$일 때, 함수 $\displaystyle h(x)$는 구간 $\displaystyle \left[\frac\pi2,\pi\right]$에서 감소하므로 방정식 $\displaystyle h(x)=0$은 구간 $\displaystyle \left(\frac\pi2,\pi\right]$에서 근을 갖지 않는다.(2-3) $\displaystyle 1<k<2$일 때, $\displaystyle h^{\prime}(\beta)=1+\sin\beta-k=0$이 되는 $\displaystyle \beta$가 구간 $\displaystyle \left(\frac\pi2,\pi\right)$에 존재하고 구간 $\displaystyle \left[\frac\pi2,\pi\right]$에서 함수 $\displaystyle h(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}x&\frac\pi2&\cdots&\beta&\cdots&\pi\\\hline h^{\prime}(x)&&+&0&-&\\\hline h(x)&0&\nearrow&h(\beta)&\searrow&1+\frac\pi2(1-k)\end{array}$$\displaystyle 1+\frac2\pi\le k<2$이면 $\displaystyle h(\pi)\le0$이므로 방정식 $\displaystyle h(x)=0$은 구간 $\displaystyle \left(\frac\pi2,\pi\right]$에서 근을 갖는다.$\displaystyle 1<k<1+\frac2\pi$이면 $\displaystyle h(\pi)>0$이므로 방정식 $\displaystyle h(x)=0$은 구간 $\displaystyle \left(\frac\pi2,\pi\right]$에서 근을 갖지 않는다.따라서 (2-1), (2-2), (2-3)에 의해 $\displaystyle 0<k<1+\frac2\pi$ 또는 $\displaystyle k\ge2$일 때, 방정식 $\displaystyle h(x)=0$은 구간 $\displaystyle \left(\frac\pi2,\pi\right]$에서 근을 갖지 않는다.경우 (1)과 (2)에 의해 방정식 $\displaystyle h(x)=0$이 구간 $\displaystyle [0,\pi]$에서 오직 한 개의 근을 갖는 양의 실수 $\displaystyle k$의 값의 범위는$\displaystyle 1-\frac2\pi<k<1+\frac2\pi$ 또는 $\displaystyle k\ge2$

【2-4】 $\displaystyle g(x)=x$이므로 $\displaystyle x=f(x)+|\cos f(x)|$이다. $\displaystyle \{x-f(x)\}^2+\sin^2f(x)=1$의 양변을 $\displaystyle x$로 미분하면$\displaystyle 2\{x-f(x)\}\{1-f^{\prime}(x)\}+2f^{\prime}(x)\sin f(x)\cos f(x)=0$$\displaystyle x-f(x)=|\cos f(x)|$이므로$\displaystyle |\cos f(x)|\{1-f^{\prime}(x)\}+f^{\prime}(x)\sin f(x)\cos f(x)=0$따라서 $\displaystyle x=a$와 $\displaystyle f^{\prime}(a)=\frac23$를 대입하면$\displaystyle |\cos f(a)|+2\sin f(a)\cos f(a)=0$이고 만약 $\displaystyle \cos f(x)$가 $\displaystyle 0$이 아니면$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{|\cos f(x)|}{|\cos f(x)|-\sin f(x)\cos f(x)}$(1) $\displaystyle \cos f(a)=0$이면 $\displaystyle f(a)=a-|\cos f(a)|=a$이므로 $\displaystyle \cos a=0$이 된다. 하지만 $\displaystyle \frac\pi2<a<\pi+1$에서 $\displaystyle \cos a=0$이 되는 $\displaystyle a$는 존재하지 않는다.(2) $\displaystyle \cos f(a)>0$이면 $\displaystyle \frac23=\frac1{1-\sin f(a)}$이므로 $\displaystyle \sin f(a)=-\frac12$이고 $\displaystyle \cos f(a)=\frac{\sqrt3}{2}$이다. 한편 $\displaystyle \frac\pi2<a<\pi+1$이고 $\displaystyle f(a)=a-\frac{\sqrt3}{2}$이므로 $\displaystyle \frac\pi2-\frac{\sqrt3}{2}<f(a)<\pi+1-\frac{\sqrt3}{2}$이다. 하지만 이 범위에서 $\displaystyle \sin f(a)=-\frac12$과 $\displaystyle \cos f(a)>0$을 모두 만족시키는 $\displaystyle f(a)$는 존재하지 않는다.(3) $\displaystyle \cos f(a)<0$일 때, $\displaystyle \frac23=\frac1{1+\sin f(a)}$이므로 $\displaystyle \sin f(a)=\frac12$이고 $\displaystyle \cos f(a)=-\frac{\sqrt3}{2}$이다.한편 $\displaystyle \frac\pi2<a<\pi+1$이고 $\displaystyle f(a)=a-\frac{\sqrt3}{2}$이므로 $\displaystyle \frac\pi2-\frac{\sqrt3}{2}<f(a)<\pi+1-\frac{\sqrt3}{2}$이다. 따라서$\displaystyle f(a)=\frac56\pi$이고$\displaystyle a=f(a)+|\cos f(a)|=\frac56\pi+\frac{\sqrt3}{2}$