자연계열 2-1번

■ 2-1점 $\displaystyle \mathrm P$가 점 $\displaystyle \mathrm A$에 처음 도착할 때의 시각이 $\displaystyle \frac13$이므로 이 때 점 $\displaystyle \mathrm Q$는 점 $\displaystyle \mathrm O$로부터 움직인 거리가 $\displaystyle \frac v3$인 점이다.

그런데 $\displaystyle \frac73\le\frac v3\le\frac83$이므로 점 $\displaystyle \mathrm Q$는 원의 둘레를 두 바퀴 회전한 후 점 $\displaystyle \mathrm O$로부터 움직인 거리가 $\displaystyle \frac13$ 이상 $\displaystyle \frac23$ 이하가 되어 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 위에 있게 된다.

이제 점 $\displaystyle \mathrm Q$의 속력 $\displaystyle v$를 $\displaystyle 9$라 하자. 점 $\displaystyle \mathrm P$가 점 $\displaystyle \mathrm A$에 처음 도착할 때의 시각이 $\displaystyle \frac13$이므로 이 때 점 $\displaystyle \mathrm Q$가 점 $\displaystyle \mathrm O$로부터 움직인 거리는 $\displaystyle 9\times\frac13=3$이다.

따라서 점 $\displaystyle \mathrm Q$가 세 바퀴를 회전한 후에 점 $\displaystyle \mathrm A$에 처음 도착하는 시각을 구하면 된다. 방정식 $\displaystyle 9t=3+\frac13$을 만족시키는 $\displaystyle t$를 구하면 $\displaystyle t=\frac{10}{27}$이다.

한편 $\displaystyle \frac13<\frac{10}{27}<\frac23$이므로 $\displaystyle t=\frac{10}{27}$일 때 점 $\displaystyle \mathrm P$도 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 위에 있다. 따라서 답은 $\displaystyle \frac{10}{27}$이다.