자연계열 2-3번

■ 2-3(a)첫 번째 부등식에 의하여 $\displaystyle f(0)\ge2f(0)$이므로 $\displaystyle f(0)\le0$이고,

두 번째 부등식에 의하여 $\displaystyle f(0)\ge0$이므로 $\displaystyle f(0)=0$이다.

■ 2-3(b)정의역과 공역이 실수 전체의 집합인 함수 $\displaystyle f(x)$ 중에서$\displaystyle f(x+y)\ge f(x)+f(y)+4xy\qquad\cdots\cdots①$$\displaystyle f(x)\ge0\qquad\cdots\cdots②$을 만족시키는 함수 $\displaystyle f(x)$를 구해보자.실수 $\displaystyle h$에 대하여 부등식 ①과 ②에 의해$\displaystyle f(x+h)-f(x)\ge f(x)+f(h)+4xh-f(x)=f(h)+4xh\ge4xh\qquad\cdots\cdots③$가 성립한다.

또한$\displaystyle f(x)=f(x+h-h)\ge f(x+h)+f(-h)-4h(x+h)\ge f(x+h)-4h(x+h)\qquad\cdots\cdots④$이다.

따라서 ③과 ④에 의하여 $\displaystyle h>0$이면$\displaystyle 4x\le\frac{f(x+h)-f(x)}h\le4(x+h)\qquad\cdots\cdots⑤$이고, $\displaystyle h<0$이면$\displaystyle 4x\ge\frac{f(x+h)-f(x)}h\ge4(x+h)\qquad\cdots\cdots⑥$이다.

부등식 ⑤, ⑥과 함수의 극한의 대소 관계에 의해$\displaystyle \lim_{h\to0+}\frac{f(x+h)-f(x)}h=4x,\quad\lim_{h\to0-}\frac{f(x+h)-f(x)}h=4x$이다. 즉,$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h=4x$이다.

그러므로 $\displaystyle f(x)=\int4x dx=2x^2+C$이고, $\displaystyle f(0)=0$이므로 $\displaystyle C=0$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=2x^2$이다. 한편 $\displaystyle f(x)=2x^2$는 부등식 ①과 ②를 만족시킨다.