자연계열 2-3번

〈나〉$\displaystyle x>0$인 구간에서 정의된 함수 중에서$\displaystyle f(xy)\le f(x)+f(y)\qquad\cdots\cdots①$$\displaystyle f(x)\le x-1\qquad\cdots\cdots②$을 만족시키는 함수 $\displaystyle f(x)$를 구해보자. 먼저 ①에 의하여 $\displaystyle f(1)\le2f(1)$이므로 $\displaystyle f(1)\ge0$이고, ②에 의하여 $\displaystyle f(1)\le0$이므로 $\displaystyle f(1)=0$이다. 이제 $\displaystyle x>0$이라고 하자. 그러면 $\displaystyle x+h>0$인 실수 $\displaystyle h$에 대하여 부등식 ①과 ②에 의해$\displaystyle f(x+h)\le f(x)+f\left(\frac{x+h}x\right)\le f(x)+\frac{x+h}x-1=f(x)+\frac hx\quad\cdots\cdots③$가 성립한다. 또한$\displaystyle f(x)=f\left((x+h)\cdot\frac x{x+h}\right)\le f(x+h)+f\left(\frac x{x+h}\right)\le f(x+h)-\frac h{x+h}\quad\cdots\cdots④$이다. 따라서 ③과 ④에 의하여 $\displaystyle h>0$이면$\displaystyle \frac1{x+h}\le\frac{f(x+h)-f(x)}h\le\frac1x\qquad\cdots\cdots⑤$이고, $\displaystyle h<0$이면$\displaystyle \frac1{x+h}\ge\frac{f(x+h)-f(x)}h\ge\frac1x\qquad\cdots\cdots⑥$이다. 부등식 ⑤, ⑥과 함수의 극한의 대소 관계에 의해$\displaystyle \lim_{h\to0+}\frac{f(x+h)-f(x)}h=\frac1x,\quad\lim_{h\to0-}\frac{f(x+h)-f(x)}h=\frac1x$이다. 즉,$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h=\frac1x$이다. 그러므로 $\displaystyle f(x)=\int\frac1x dx=\ln x+C$이고, $\displaystyle f(1)=0$이므로 $\displaystyle C=0$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=\ln x$이다. 한편 $\displaystyle f(x)=\ln x$는 부등식 ①과 ②를 만족시킨다.