자연계열 2-2번

〈가〉둘레의 길이가 $\displaystyle 1$인 원 위에 〈그림 1〉과 같이 세 점 $\displaystyle \mathrm O,\mathrm A,\mathrm B$를 원의 둘레의 길이가 $\displaystyle 3$등분이 되도록 정한다. 두 점 $\displaystyle \mathrm P,\mathrm Q$가 점 $\displaystyle \mathrm O$를 출발하여 원의 둘레를 따라 시계 반대 방향으로 일정한 속력으로 계속 움직인다고 하자. 이 때 두 점 $\displaystyle \mathrm P,\mathrm Q$가 모두 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 위에 동시에 있을 수 있을까? (단, 여기서 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$는 점 $\displaystyle \mathrm O$를 포함하지 않는 호를 의미한다.)점 $\displaystyle \mathrm P$의 속력을 $\displaystyle 1$, 점 $\displaystyle \mathrm Q$의 속력을 $\displaystyle v$라 하자. (단, $\displaystyle v\ge1$) 이 때 두 점이 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 위에 동시에 있을 수 있다는 사실을 다음과 같이 여러 경우로 나누어 증명할 수 있다.

(i) $\displaystyle 1\le v\le2$인 경우: 점 $\displaystyle \mathrm P$가 점 $\displaystyle \mathrm A$에 처음 도착할 때의 시각이 $\displaystyle \frac13$이므로 이 때 점 $\displaystyle \mathrm Q$는 점 $\displaystyle \mathrm O$로부터 움직인 거리가 $\displaystyle \frac v3$인 점이다. 그런데, $\displaystyle \frac13\le\frac v3\le\frac23$이므로 점 $\displaystyle \mathrm Q$가 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 위에 있게 된다.

(ii) $\displaystyle 2\le v\le\frac52$인 경우: 점 $\displaystyle \mathrm P$가 점 $\displaystyle \mathrm B$에 처음 도착할 때의 시각이 $\displaystyle \frac23$이므로 이 때 점 $\displaystyle \mathrm Q$는 점 $\displaystyle \mathrm O$로부터 움직인 거리가 $\displaystyle \frac{2v}3$인 점이다. 그런데 $\displaystyle \frac43\le\frac{2v}3\le\frac53$이므로 점 $\displaystyle \mathrm Q$는 원의 둘레를 한 바퀴 회전한 후 점 $\displaystyle \mathrm O$로부터 움직인 거리가 $\displaystyle \frac13$ 이상 $\displaystyle \frac23$ 이하가 되어 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 위에 있게 된다.

(iii) $\displaystyle v>\frac52$의 경우에도 위와 유사한 방법으로 두 점 $\displaystyle \mathrm P,\mathrm Q$가 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 위에 동시에 있을 수 있다는 사실을 확인할 수 있다.

이제 위의 사실을 좌표 평면에서 설명하여 보자. 점 $\displaystyle \mathrm P$의 속력이 $\displaystyle 1$이므로 시각 $\displaystyle t$일 때 점 $\displaystyle \mathrm P$가 움직인 거리는 $\displaystyle t$가 된다. 이 때 점 $\displaystyle \mathrm Q$가 움직인 거리는 점 $\displaystyle \mathrm Q$의 속력이 $\displaystyle v$이므로 $\displaystyle vt$가 된다. 따라서 시각이 $\displaystyle t$일 때 점 $\displaystyle \mathrm P$와 점 $\displaystyle \mathrm Q$가 움직인 거리를 순서쌍 $\displaystyle (t,vt)$로 좌표 평면에 나타내면 직선 $\displaystyle y=vx$ 위의 한 점이 된다.한편 음이 아닌 정수 $\displaystyle m,n$에 대하여 연립부등식$\displaystyle \begin{cases}m+\frac13\le x\le m+\frac23\\n+\frac13\le y\le n+\frac23\end{cases}$의 영역이 있다고 하자. 그러면 점 $\displaystyle \mathrm P$와 점 $\displaystyle \mathrm Q$가 움직인 거리의 순서쌍이 이 영역에 속한다는 것은 점 $\displaystyle \mathrm P$가 〈그림 1〉의 원의 둘레를 $\displaystyle m$바퀴 회전한 후에 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 위에 있고 점 $\displaystyle \mathrm Q$는 〈그림 1〉의 원의 둘레를 $\displaystyle n$바퀴 회전한 후에 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 위에 있다는 뜻이다. 따라서 두 점 $\displaystyle \mathrm P,\mathrm Q$가 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 위에 동시에 있을 수 있음을 보이기 위해서는 직선 $\displaystyle y=vx$가 〈그림 2〉에서 색칠한 부분의 영역과 만나는지를 확인하면 된다.