자연계열 2-2번

■ 2-2점 $\displaystyle \mathrm Q$가 원의 둘레를 두 바퀴 회전하기 전에 두 점 $\displaystyle \mathrm P,\mathrm Q$가 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 위에 동시에 있기 위해서는 직선 $\displaystyle y=vx$가 연립부등식$\displaystyle \begin{cases}\frac13\le x\le\frac23\\\frac13\le y\le\frac23\end{cases}\text{ 또는 }\begin{cases}\frac13\le x\le\frac23\\1+\frac13\le y\le1+\frac23\end{cases}$의 영역과 만나야한다. (<그림3> 참조)

첫 번째 연립부등식의 영역을 $\displaystyle R$, 두 번째 연립부등식의 영역을 $\displaystyle S$라 하자. <그림 3>에서 직선 $\displaystyle y=vx$가 $\displaystyle R$과 만나기 위한 $\displaystyle v$의 최댓값은 직선이 점 $\displaystyle \left(\frac13,\frac23\right)$를 지날 때임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle 1\le v\le2$일 때 직선 $\displaystyle y=vx$가 $\displaystyle R$과 만난다.

또한 직선 $\displaystyle y=vx$가 $\displaystyle S$와 만나기 위한 $\displaystyle v$의 최댓값은 직선이 점 $\displaystyle \left(\frac13,\frac53\right)$를 지날 때이고, 최솟값은 직선이 점 $\displaystyle \left(\frac23,\frac43\right)$를 지날 때이다. 따라서 $\displaystyle 2\le v\le5$일 때, 직선 $\displaystyle y=vx$가 $\displaystyle S$와 만난다.

따라서 구하고자 하는 속력 $\displaystyle v$의 범위는 $\displaystyle 1\le v\le5$이다.