자연계열 1-1번

<가>원 위의 세 점이 만드는 삼각형 중 넓이가 최대인 것은 어떤 삼각형인지 알아보자. <그림 1>과 같이 반지름이 $\displaystyle 1$인 원 위에 세 점 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$를 임의로 잡았을 때, 삼각형 $\displaystyle ABC$의 넓이가 최대가 되는 조건이 무엇인지 두 단계로 알아보자. 먼저 세 점 중 두 점 $\displaystyle B$와 $\displaystyle C$를 고정했을 때 삼각형 $\displaystyle ABC$의 넓이가 최대가 되는 나머지 한 점 $\displaystyle A$는 다음과 같이 구할 수 있다. 삼각형 $\displaystyle ABC$의 밑변을 선분 $\displaystyle BC$로 하면 높이는 점 $\displaystyle A$와 직선 $\displaystyle BC$ 사이의 거리이다. 따라서 점 $\displaystyle A$가 원 위의 점 중 직선 $\displaystyle BC$에서 가장 멀리 떨어진 점일 경우에 삼각형 $\displaystyle ABC$의 넓이가 최대가 된다. 이때, 삼각형 $\displaystyle ABC$는 선분 $\displaystyle BC$를 밑변으로 하는 이등변삼각형이 됨을 확인할 수 있다.

이제 이등변삼각형 중 넓이가 최대가 되는 경우를 구해보자. 이를 위하여 <그림 2>와 같이 좌표 평면 위에서 점 $\displaystyle B$와 $\displaystyle C$를 직선 $\displaystyle y=-k$ (단, $\displaystyle 0\le k<1$) 위의 점이라 하자. 이 때, 삼각형 $\displaystyle ABC$의 넓이를 최대로 만드는 점 $\displaystyle A$는 원 위의 점 중 직선 $\displaystyle y=-k$에 가장 멀리 떨어진 점 $\displaystyle (0,1)$이 된다. 두 점 $\displaystyle B$와 $\displaystyle C$는 원 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 위의 점이므로 좌표는 $\displaystyle (-\sqrt{1-k^2},-k)$, $\displaystyle (\sqrt{1-k^2},-k)$이다. 따라서 이때의 삼각형 $\displaystyle ABC$의 넓이 $\displaystyle S(k)$는$\displaystyle S(k)=(1+k)\sqrt{1-k^2}$이다. 미분법을 이용하여 $\displaystyle S(k)$가 최댓값을 갖게 하는 $\displaystyle k$의 값을 구하면 $\displaystyle k=\frac12$이다. 따라서 원 위의 세 점이 만드는 삼각형 중 넓이가 최대인 것은 정삼각형이다.