자연계열 1-1번

■ 1-1(a)삼각형 $\displaystyle ABC$에서 선분 $\displaystyle BC$를 밑변으로 하였을 때, 높이는 점 $\displaystyle A$에서 직선 $\displaystyle BC$까지의 거리가 된다. 따라서 삼각형의 넓이가 최대가 되게 하는 타원 위의 점 $\displaystyle A$는 직선 $\displaystyle BC$와 평행한 직선이 타원과 접하는 점 중 직선 $\displaystyle BC$에서 멀리 떨어진 점이다. 직선 $\displaystyle BC$의 기울기는 $\displaystyle \frac23$이므로, 타원 위의 점 중 접선의 기울기가 $\displaystyle \frac23$인 점을 찾으면 된다.

타원 위의 점 $\displaystyle (a,b)$에서 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{ax}9+\frac{by}4=1$이고 접선의 기울기는 $\displaystyle -\frac{4a}{9b}$이다. 따라서 방정식$\displaystyle -\frac{4a}{9b}=\frac23,\quad\frac{a^2}9+\frac{b^2}4=1$을 풀면 두 점 $\displaystyle \left(-\frac32\sqrt2,\sqrt2\right)$, $\displaystyle \left(\frac32\sqrt2,-\sqrt2\right)$를 얻는다. 두 점 중 직선 $\displaystyle BC$에 더 멀리 떨어진 점은 $\displaystyle \left(-\frac32\sqrt2,\sqrt2\right)$이다.

■ 1-1(b)두 점 $\displaystyle B$, $\displaystyle C$가 직선 $\displaystyle y=-k$ (단, $\displaystyle 0\le k<2$) 위에 놓여있다고 하면, 직선 $\displaystyle BC$에서 가장 멀리 떨어진 타원 위의 점은 점 $\displaystyle A(0,2)$이다. 두 점 $\displaystyle B$, $\displaystyle C$의 좌표는 각각 $\displaystyle \left(-3\sqrt{1-\frac{k^2}4},-k\right)$, $\displaystyle \left(3\sqrt{1-\frac{k^2}4},-k\right)$이므로 삼각형의 넓이 $\displaystyle S(k)$는$\displaystyle S(k)=3(2+k)\sqrt{1-\frac{k^2}4}$이다.

이를 미분하면 $\displaystyle S^{\prime}(k)=-\frac{3(k^2+k-2)}{2\sqrt{1-\frac{k^2}4}}$이므로 $\displaystyle k=1$일 때, $\displaystyle S(k)$는 최댓값 $\displaystyle \frac{9\sqrt3}2$을 갖는다.