자연계열 1-3번

■ 1-3(a)$\displaystyle f(x)=x^3+3x^2\cos\theta-4\sin2\theta\quad(0<\theta<\frac\pi2)$이므로$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+6x\cos\theta=3x(x+2\cos\theta)=0$이다. 따라서 제시문 <다>의 (I)을 이용하면$\displaystyle x=0\text{ 또는 }x=-2\cos\theta$에서 $\displaystyle x$축과 접할 수 있다. 여기서 $\displaystyle f(0)=-4\sin2\theta<0$이므로 $\displaystyle x=0$에서 $\displaystyle x$축과 접할 수 없다. 따라서 $\displaystyle x=-2\cos\theta$에서 $\displaystyle x$축과 접하기 때문에 제시문 <다>의 (I)을 이용하면 $\displaystyle f(-2\cos\theta)=0$임을 알 수 있다. 그러므로

$\displaystyle \begin{aligned}0&=f(-2\cos\theta)\\&=(-2\cos\theta)^3+3(-2\cos\theta)^2\cos\theta-4\sin2\theta\\&=4\cos^3\theta-4\sin2\theta\\&=4\cos^3\theta-8\sin\theta\cos\theta\\&=4\cos\theta(\cos^2\theta-2\sin\theta)\\&=4\cos\theta(1-\sin^2\theta-2\sin\theta)\end{aligned}$이다. 여기서 $\displaystyle \cos\theta>0$이므로 $\displaystyle 1-\sin^2\theta-2\sin\theta=0$이다. 주어진 $\displaystyle \theta$의 범위에서 $\displaystyle \sin\theta$의 값은 $\displaystyle 0$과 $\displaystyle 1$ 사이에 놓여 있으므로$\displaystyle \sin\theta=\sqrt2-1$을 얻는다. 그래프의 개형은 다음과 같다.

■ 1-3(b)제시문 <다>의 (II)에 의해서 $\displaystyle \alpha=-2\cos\theta$에서 $\displaystyle x$축에 접하기 때문에 또 다른 한 근을 $\displaystyle \beta$라고 하면$\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=(x+2\cos\theta)^2(x-\beta)\\&=(x^2+4x\cos\theta+4\cos^2\theta)(x-\beta)\\&=x^3+(4\cos\theta-\beta)x^2+(4\cos^2\theta-4\beta\cos\theta)x-4\beta\cos^2\theta\end{aligned}$이다. 또한$\displaystyle f(x)=x^3+3x^2\cos\theta-4\sin2\theta$이므로 $\displaystyle x^2$의 계수를 비교하면 $\displaystyle \beta=\cos\theta$이다.($\displaystyle x$의 계수 또는 상수항을 비교하여도 같은 결론을 얻는다. 다만 상수항끼리 비교하면 $\displaystyle \beta=2\tan\theta$를 얻고 1-3(a)에서 얻은 $\displaystyle \sin\theta$의 값을 이용하면 $\displaystyle \beta=\cos\theta$임을 알 수 있다.)

따라서 구하는 부분의 넓이는 제시문 <다>의 (III)에서 주어진 정적분을 이용하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\left|\int_\alpha^\beta f(x)dx\right|&=\left|\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^2(x-\beta)dx\right|\\&=\left|\int_{-2\cos\theta}^{\cos\theta}(x+2\cos\theta)^2(x-\cos\theta)dx\right|\\&=\frac1{12}(3\cos\theta)^4\\&=\frac{27}4\cos^4\theta\\&=\frac{27}4(1-\sin^2\theta)^2\\&=\frac{27}4\{1-(\sqrt2-1)^2\}^2\\&=27(3-2\sqrt2)\end{aligned}$