자연계열 1-2번

■ 1-2(a)수학적 귀납법을 이용하여 $\displaystyle b_n$이 $\displaystyle 3$의 배수가 아님을 증명해 보자.(i) $\displaystyle n=1$일 때, $\displaystyle b_1=2$이므로 $\displaystyle 3$의 배수가 아니다.(ii) $\displaystyle n=k$일 때, $\displaystyle b_k$가 $\displaystyle 3$의 배수가 아니라고 가정하면 $\displaystyle b_k^2$도 $\displaystyle 3$의 배수가 아니다.수열 $\displaystyle {b_n}$은 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle b_{n+1}=b_n^2-3b_n+3$을 만족시키는 수열이므로 $\displaystyle b_{k+1}=b_k^2-3b_k+3$이다. 이제 위 식을 변형하면$\displaystyle b_{k+1}+3b_k-3=b_k^2$이다. 여기서 $\displaystyle -3b_k+3$은 $\displaystyle 3$의 배수이고 $\displaystyle b_k^2$은 $\displaystyle 3$의 배수가 아니므로 $\displaystyle b_{k+1}$은 $\displaystyle 3$의 배수가 아니다. 왜냐하면, 만일 $\displaystyle b_{k+1}$이 $\displaystyle 3$의 배수이면 위 식의 좌변은 $\displaystyle 3$의 배수이나 우변은 $\displaystyle 3$의 배수가 아니기 때문이다. 그러므로 등식이 성립하지 않는다. 따라서 $\displaystyle n=k+1$일 때 $\displaystyle b_{k+1}$은 $\displaystyle 3$의 배수가 아니다.그러므로 (i), (ii)에 의하여 $\displaystyle b_n$은 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 3$의 배수가 아님을 알 수 있다.

■ 1-2(b)수열 $\displaystyle {b_n}$이 서로 소 수열임을 증명해 보자.수열 $\displaystyle {b_n}$은 $\displaystyle b_1=2$이고 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle b_{n+1}=b_n^2-3b_n+3$을 만족한다. 이제 위 식을 변형하면$\displaystyle b_{n+1}-3=b_n^2-3b_n=b_n(b_n-3)\qquad\cdots\cdots①$이다. 따라서 임의의 두 자연수 $\displaystyle n$과 $\displaystyle m$ ($\displaystyle n>m$)에 대하여 ①식을 반복하여 적용하면$\displaystyle b_n-3=b_{n-1}b_{n-2}\cdots b_m(b_m-3)$

이다. 이제 $\displaystyle b_n$과 $\displaystyle b_m$의 공약수를 $\displaystyle k$라 하면, $\displaystyle b_n-b_{n-1}b_{n-2}\cdots b_m(b_m-3)=3$에서 $\displaystyle k$가 좌변의 약수이므로 $\displaystyle k$는 $\displaystyle 3$의 약수이어야 한다. 그러나 $\displaystyle b_n$은 $\displaystyle 3$의 배수가 아니므로 $\displaystyle k\ne3$이고 따라서 $\displaystyle k=1$이다. 즉, $\displaystyle b_n$과 $\displaystyle b_m$은 서로 소이다. 그러므로 위와 같이 정의된 수열 $\displaystyle {b_n}$은 서로 소 수열이다.