자연계열 1-1번

■ 1-1(a)근과 계수와의 관계로부터 $\displaystyle \alpha+\beta=1,\alpha\beta=-\frac32$임을 알 수 있다. 따라서$\displaystyle \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=4$이다. 그러므로 점 $\displaystyle (\alpha,\beta)$는 원 $\displaystyle x^2+y^2=4$ 위에 있다.

<다른 풀이>이차방정식 $\displaystyle x^2-x-\frac32=0$의 두 근 $\displaystyle \alpha,\beta$ ($\displaystyle \alpha<\beta$)는$\displaystyle \alpha=\frac{1-\sqrt7}2,\quad\beta=\frac{1+\sqrt7}2$이다. 점 $\displaystyle (\alpha,\beta)$는 다음과 같이 원의 방정식 $\displaystyle x^2+y^2=4$를 만족시킨다.$\displaystyle \left(\frac{1-\sqrt7}2\right)^2+\left(\frac{1+\sqrt7}2\right)^2=\left(\frac{8-2\sqrt7}4\right)+\left(\frac{8+2\sqrt7}4\right)=4$

■ 1-1(b)근과 계수와의 관계로부터 $\displaystyle \alpha+\beta=2r$이고 $\displaystyle \alpha\beta=r^2-r-2$임을 알 수 있다. 따라서$\displaystyle (\alpha-\beta)^2-6=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta-6=(2r)^2-4(r^2-r-2)-6=4r+2$이고 $\displaystyle (\alpha+\beta)^2+3=4r^2+3$이다. 그러므로 $\displaystyle \frac{(\alpha-\beta)^2-6}{(\alpha+\beta)^2+3}=\frac{4r+2}{4r^2+3}$이다.

$\displaystyle \frac{4r+2}{4r^2+3}$가 정수가 되게 하는 모든 실수 $\displaystyle r$을 구하기 위해 $\displaystyle \frac{4r+2}{4r^2+3}=n$ ($\displaystyle n$은 정수)이라고 하자. 먼저 $\displaystyle n=0$인 경우, $\displaystyle r=-\frac12$이다. $\displaystyle n\ne0$인 경우, $\displaystyle r$에 관한 이차방정식 $\displaystyle 4nr^2-4r+3n-2=0$을 얻고 이 방정식을 풀면$\displaystyle r=\frac{4\pm\sqrt{16-16n(3n-2)}}{8n}$

이다. $\displaystyle r$이 실수이므로 판별식 $\displaystyle D=16-16n(3n-2)\ge0$이다.

이로부터 $\displaystyle 3n^2-2n-1\le0$을 구할 수 있고 이를 인수분해하면 $\displaystyle (3n+1)(n-1)\le0$이므로 $\displaystyle -\frac13\le n\le1$이다. $\displaystyle n\ne0$이므로 $\displaystyle n=1$이다. $\displaystyle n=1$이면 $\displaystyle r=\frac12$이다. 그러므로 $\displaystyle \frac{(\alpha-\beta)^2-6}{(\alpha+\beta)^2+3}$가 정수가 되게 하는 모든 실수 $\displaystyle r$을 구하면 $\displaystyle r=-\frac12,\frac12$이다.