수리논술, 이게 다다.

자연계열 1-1번

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숙명여대 2019학년도 수시 자연계열 1-1번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2019su/jayeon_1_1

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문제

<가>계수 a,b,c\displaystyle a,b,c가 실수인 이차방정식 ax2+bx+c=0\displaystyle ax^2+bx+c=0의 두 근을 α,β\displaystyle \alpha,\beta라고 하면 근과 계수와의 관계는 다음과 같다.α+β=−ba,αβ=ca\displaystyle \alpha+\beta=-\frac ba,\quad\alpha\beta=\frac ca

이제 x\displaystyle x에 대한 이차방정식 x2−2rx+r2+1=0\displaystyle x^2-2rx+r^2+1=0의 두 근을 α,β\displaystyle \alpha,\beta라고 할 때, α+βαβ\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}가 정수가 되게 하는 모든 실수 r\displaystyle r을 구해보자. 근과 계수와의 관계로부터 α+β=2r\displaystyle \alpha+\beta=2r이고 αβ=r2+1\displaystyle \alpha\beta=r^2+1임을 알 수 있다. 그러므로 α+βαβ=2rr2+1\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{2r}{r^2+1}이다. 2rr2+1\displaystyle \frac{2r}{r^2+1}이 정수가 되게 하는 모든 실수 r\displaystyle r을 구하기 위해 2rr2+1=n\displaystyle \frac{2r}{r^2+1}=n (단, n\displaystyle n은 정수)이라고 하자. 먼저 n=0\displaystyle n=0인 경우, r=0\displaystyle r=0이다. n≠0\displaystyle n\ne0인 경우, r\displaystyle r에 대한 이차방정식 nr2−2r+n=0\displaystyle nr^2-2r+n=0을 얻고 이 방정식을 풀면 r=2±4−4n22n\displaystyle r=\frac{2\pm\sqrt{4-4n^2}}{2n}이다. r\displaystyle r이 실수이므로 판별식 D=4−4n2≥0\displaystyle D=4-4n^2\ge0이다. 따라서 −1≤n≤1\displaystyle -1\le n\le1이고 n≠0\displaystyle n\ne0이므로 n=−1\displaystyle n=-1 또는 n=1\displaystyle n=1이다. n=−1\displaystyle n=-1이면 r=−1\displaystyle r=-1이고, n=1\displaystyle n=1이면 r=1\displaystyle r=1이다. 그러므로 α+βαβ\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}가 정수가 되게 하는 모든 실수 r\displaystyle r을 구하면 r=−1,0,1\displaystyle r=-1,0,1이다.

1-1. 제시문 <가>를 읽고 다음 문제에 답하시오.

1-1(a). 이차방정식 2x2−2x−3=0\displaystyle 2x^2-2x-3=0의 두 실근을 α,β\displaystyle \alpha,\beta (α<β\displaystyle \alpha<\beta)라고 할 때, 점 (α,β)\displaystyle (\alpha,\beta)가 원 x2+y2=4\displaystyle x^2+y^2=4 위에 있음을 보이시오.

1-1(b). x\displaystyle x에 대한 이차방정식 x2−2rx+r2−r−2=0\displaystyle x^2-2rx+r^2-r-2=0의 두 근을 α,β\displaystyle \alpha,\beta라고 할 때, (α−β)2−6(α+β)2+3\displaystyle \frac{(\alpha-\beta)^2-6}{(\alpha+\beta)^2+3}이 정수가 되게 하는 모든 실수 r\displaystyle r을 구하시오.

해설강의 준비중

숙명여대 2019학년도 수시 자연계열 1-1번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2019su/jayeon_1_1

1단계 · 제시문 <가>의 핵심 내용을 정확하게 파악한다.
2단계 · 제시문 <가>에서 논의된 과정을 문제에 적용하여 설명한다.
3단계 · 근과 계수와의 관계를 올바로 적용한다.

■ 1-1(a)근과 계수와의 관계로부터 α+β=1,αβ=−32\displaystyle \alpha+\beta=1,\alpha\beta=-\frac32임을 알 수 있다. 따라서α2+β2=(α+β)2−2αβ=4\displaystyle \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=4이다. 그러므로 점 (α,β)\displaystyle (\alpha,\beta)는 원 x2+y2=4\displaystyle x^2+y^2=4 위에 있다.

1단계 · 제시문 <가>의 핵심 내용을 정확하게 파악한다.
2단계 · 제시문 <가>에서 논의된 과정을 문제에 적용하여 설명한다.

<다른 풀이>이차방정식 x2−x−32=0\displaystyle x^2-x-\frac32=0의 두 근 α,β\displaystyle \alpha,\beta (α<β\displaystyle \alpha<\beta)는α=1−72,β=1+72\displaystyle \alpha=\frac{1-\sqrt7}2,\quad\beta=\frac{1+\sqrt7}2이다. 점 (α,β)\displaystyle (\alpha,\beta)는 다음과 같이 원의 방정식 x2+y2=4\displaystyle x^2+y^2=4를 만족시킨다.(1−72)2+(1+72)2=(8−274)+(8+274)=4\displaystyle \left(\frac{1-\sqrt7}2\right)^2+\left(\frac{1+\sqrt7}2\right)^2=\left(\frac{8-2\sqrt7}4\right)+\left(\frac{8+2\sqrt7}4\right)=4

1단계 · 제시문 <가>의 핵심 내용을 정확하게 파악한다.
2단계 · 제시문 <가>에서 논의된 과정을 문제에 적용하여 설명한다.
3단계 · 근과 계수와의 관계를 올바로 적용한다.

■ 1-1(b)근과 계수와의 관계로부터 α+β=2r\displaystyle \alpha+\beta=2r이고 αβ=r2−r−2\displaystyle \alpha\beta=r^2-r-2임을 알 수 있다. 따라서(α−β)2−6=(α+β)2−4αβ−6=(2r)2−4(r2−r−2)−6=4r+2\displaystyle (\alpha-\beta)^2-6=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta-6=(2r)^2-4(r^2-r-2)-6=4r+2이고 (α+β)2+3=4r2+3\displaystyle (\alpha+\beta)^2+3=4r^2+3이다. 그러므로 (α−β)2−6(α+β)2+3=4r+24r2+3\displaystyle \frac{(\alpha-\beta)^2-6}{(\alpha+\beta)^2+3}=\frac{4r+2}{4r^2+3}이다.

4단계 · <1-1(b)>에서 r\displaystyle r에 대한 이차방정식을 구한다.

4r+24r2+3\displaystyle \frac{4r+2}{4r^2+3}가 정수가 되게 하는 모든 실수 r\displaystyle r을 구하기 위해 4r+24r2+3=n\displaystyle \frac{4r+2}{4r^2+3}=n (n\displaystyle n은 정수)이라고 하자. 먼저 n=0\displaystyle n=0인 경우, r=−12\displaystyle r=-\frac12이다. n≠0\displaystyle n\ne0인 경우, r\displaystyle r에 관한 이차방정식 4nr2−4r+3n−2=0\displaystyle 4nr^2-4r+3n-2=0을 얻고 이 방정식을 풀면r=4±16−16n(3n−2)8n\displaystyle r=\frac{4\pm\sqrt{16-16n(3n-2)}}{8n}

5단계 · 판별식을 이용하여 실근을 가질 조건을 얻는다.

이다. r\displaystyle r이 실수이므로 판별식 D=16−16n(3n−2)≥0\displaystyle D=16-16n(3n-2)\ge0이다.

6단계 · 이차부등식의 해를 구한다.

이로부터 3n2−2n−1≤0\displaystyle 3n^2-2n-1\le0을 구할 수 있고 이를 인수분해하면 (3n+1)(n−1)≤0\displaystyle (3n+1)(n-1)\le0이므로 −13≤n≤1\displaystyle -\frac13\le n\le1이다. n≠0\displaystyle n\ne0이므로 n=1\displaystyle n=1이다. n=1\displaystyle n=1이면 r=12\displaystyle r=\frac12이다. 그러므로 (α−β)2−6(α+β)2+3\displaystyle \frac{(\alpha-\beta)^2-6}{(\alpha+\beta)^2+3}가 정수가 되게 하는 모든 실수 r\displaystyle r을 구하면 r=−12,12\displaystyle r=-\frac12,\frac12이다.

각 세부 문항별로 다음과 같은 기준을 만족시켜야 한다.

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