자연계열 1-2번

■ 1-2(a)수열 $\displaystyle {a_n}$의 정의에 의하여 $\displaystyle a_1=2^{2019}-3$, $\displaystyle a_2=a_1+1=2^{2019}-2$, $\displaystyle a_3=\frac{a_2}2=2^{2018}-1$, $\displaystyle a_4=2^{2018}$, $\displaystyle a_5=2^{2017}$, $\displaystyle a_6=2^{2016}$, $\displaystyle a_7=2^{2015},\cdots,\ a_{2021}=2^1$이며 $\displaystyle a_{2022}=1$이다. 따라서 $\displaystyle a_k=1$이 되는 자연수 $\displaystyle k$의 최솟값은 $\displaystyle k=2022$이다.

■ 1-2(b)수열 $\displaystyle {b_n}$의 정의로부터 각 항은 $\displaystyle 0$ 이상의 정수이다.

$\displaystyle b_n$이 홀수인 경우, $\displaystyle b_{n+1}=2b_n-2$이고 이는 짝수이므로 $\displaystyle b_{n+2}=\frac{b_{n+1}}2=b_n-1$이다. 따라서 $\displaystyle b_n>b_{n+2}$이다. 또한 $\displaystyle b_n$이 짝수인 경우, $\displaystyle b_{n+1}=\frac{b_n}2$이고 이 때 $\displaystyle b_{n+1}$이 짝수이면 (즉, $\displaystyle b_n$이 $\displaystyle 4$의 배수이면) $\displaystyle b_{n+2}=\frac{b_{n+1}}2=\frac{b_n}4$이고, $\displaystyle b_{n+1}$이 홀수이면 (즉, $\displaystyle b_n$이 $\displaystyle 4$의 배수가 아닌 짝수이면) $\displaystyle b_{n+2}=2b_{n+1}-2=b_n-2$이다. 그러므로 $\displaystyle b_n>0$인 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle b_n>b_{n+2}$이다. 따라서 $\displaystyle b_k=0$인 자연수 $\displaystyle k$가 존재한다.