자연계열 1-3번

<다>투명한 둥근 공이 평평한 바닥에 놓여 있다. <그림 1>과 같이 공 위의 점 $\displaystyle \mathrm N$에 광원이 있고, 개미 한 마리가 공 위를 기어 다니고 있다. 개미의 움직임과 바닥에 생기는 그림자의 움직임의 관계를 수학적으로 살펴보자.

이 문제를 <그림 2>와 같이 좌표평면 위에서 단순화할 수 있다. 먼저 반지름의 길이가 $\displaystyle 1$이고 중심이 $\displaystyle (0,1)$인 원$\displaystyle x^2+(y-1)^2=1$을 생각하자. 원 위의 점 $\displaystyle \mathrm C(0,2)$에 광원이 있다. 만약 원 위의 점 $\displaystyle \mathrm A$가 점 $\displaystyle \mathrm C$에서 출발하여 일정한 속도 $\displaystyle v$로 시계방향으로 원 위를 움직이면 시각 $\displaystyle t$ ($\displaystyle 0<t<\frac\pi v$)에서의 점 $\displaystyle \mathrm A(x,y)$의 위치는$\displaystyle x=\sin(vt),\quad y=1+\cos(vt)$이다. 점 $\displaystyle \mathrm A$의 그림자는 두 점 $\displaystyle \mathrm C$와 $\displaystyle \mathrm A$를 잇는 직선과 $\displaystyle x$축의 교점 $\displaystyle \mathrm B$로 주어진다.

이제 원래의 문제로 돌아가서 <그림 1>을 좌표공간에 수학적으로 나타내어 보자. 반지름의 길이가 $\displaystyle 1$이고 중심이 $\displaystyle (0,0,1)$인 구$\displaystyle x^2+y^2+(z-1)^2=1$을 생각하자. 점 $\displaystyle \mathrm P$는 구와 평면 $\displaystyle z=\frac12$이 만날 때 생기는 원 위를 움직인다고 가정하자. 점 $\displaystyle \mathrm P$의 그림자는 점 $\displaystyle \mathrm N(0,0,2)$와 점 $\displaystyle \mathrm P$를 잇는 직선과 $\displaystyle xy$평면의 교점 $\displaystyle \mathrm Q$로 주어진다.