자연계열 1-3번

■ 1-3(a)두 점 $\displaystyle \mathrm C(0,2)$와 $\displaystyle \mathrm A(\sin(vt),1+\cos(vt))$를 지나는 직선의 방정식은$\displaystyle y=\frac{\cos(vt)-1}{\sin(vt)}x+2$이다. 그러므로 이 직선과 $\displaystyle x$축의 교점 $\displaystyle \mathrm B$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{2\sin(vt)}{1-\cos(vt)},0\right)$이고,

시각 $\displaystyle t$에서 선분 $\displaystyle \mathrm{OB}$의 길이의 변화율은 다음과 같다.$\displaystyle \frac d{dt}\left(\frac{2\sin(vt)}{1-\cos(vt)}\right)=-\frac{2v}{1-\cos(vt)}$따라서 시각 $\displaystyle t=\frac{2\pi}{3v}$에서 선분 $\displaystyle \mathrm{OB}$의 길이의 변화율은 $\displaystyle -\frac{4v}3$이다.

■ 1-3(b)평면 $\displaystyle z=\frac12$과 구 $\displaystyle x^2+y^2+(z-1)^2=1$이 만날 때 생기는 원의 중심은 $\displaystyle \left(0,0,\frac12\right)$이다. 이 원의 반지름을 구하기 위해 평면의 방정식 $\displaystyle z=\frac12$을 구의 방정식에 대입하면$\displaystyle x^2+y^2=\left(\frac{\sqrt3}2\right)^2$이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm P$는 평면 $\displaystyle z=\frac12$ 위의 중심이 $\displaystyle \left(0,0,\frac12\right)$이고 반지름이 $\displaystyle \frac{\sqrt3}2$인 원 위를 움직인다. 점 $\displaystyle \mathrm Q$는 점 $\displaystyle \mathrm P$와 점 $\displaystyle \mathrm N(0,0,2)$를 잇는 직선과 $\displaystyle xy$평면의 교점이므로 점 $\displaystyle \mathrm Q$는 중심이 원점인 원을 따라 움직임을 알 수 있다.

그림자의 길이를 구하기 위해 이 원의 반지름 $\displaystyle r$을 구해보자.아래의 그림과 같이 닮음비를 이용하면$\displaystyle \frac32:\frac{\sqrt3}2=2:r$이고 이로부터 $\displaystyle r=\frac{2\sqrt3}3$이다. 따라서 구하고자 하는 그림자의 길이는 $\displaystyle 2\pi r=\frac{4\sqrt3}3\pi$이다.