자연계열 1-1번

■ 1-1(a)포물선 $\displaystyle y=x^2+t$는 점 $\displaystyle (-\sqrt{10-t},10)$, $\displaystyle (\sqrt{10-t},10)$을 지나므로 대칭성에 의해 이 영역의 반의 넓이$\displaystyle f(t)=\int_0^{\sqrt{10-t}}(10-(x^2+t))\,dx+\frac{10(15-\sqrt{10-t})}2=\frac13(5\sqrt{10-t}-2t\sqrt{10-t})+75$(단, $\displaystyle 0<t<10$)을 최소화하면 된다.

한편, $\displaystyle f^{\prime}(t)=\frac{2t-15}{2\sqrt{10-t}}=0$을 만족하는 $\displaystyle t$는 $\displaystyle \frac{15}2$이고, 이때 $\displaystyle f(t)$는 최솟값을 가지므로 무대 바닥의 한가운데에서 $\displaystyle \frac{15}2$만큼 떨어진 곳을 꼭짓점으로 하는 포물선 모양의 커텐을 설치하면 된다. 한편, $\displaystyle f(t)$에서 무대의 폭의 반인 $\displaystyle 15$를 다른 수로 대체하더라도 $\displaystyle f^{\prime}(t)$의 값이 같으므로 $\displaystyle f(t)$가 최소가 되도록 하는 $\displaystyle t$의 값은 무대의 폭 $\displaystyle 30$과 무관하다.

■ 1-1(b)무대 양쪽에 두 삼각형 모양의 커튼이 설치되며 커튼에 의해 가려진 부분의 넓이가 최소가 되도록 하려면 $\displaystyle \frac6\pi<\frac{n^2+11}{2\pi n}$, 즉 $\displaystyle n^2-12n+11=(n-1)(n-11)>0$을 만족해야 한다.

이를 만족하는 가장 작은 자연수는 $\displaystyle 12$이다.