자연계열 1-1번

<가>① 어느 극장의 무대는 관객석에서 보면 폭이 $\displaystyle 30$, 높이가 $\displaystyle 10$인 직사각형 모양이다. <그림 1>과 같이 무대 천장의 한가운데에 반지름의 길이가 $\displaystyle r$인 반원 모양의 커튼과 이 반원과 연결된 두 삼각형 모양의 커튼을 양쪽에 설치하려고 한다. 이때 커튼에 의해 가려진 부분을 제외하고 무대를 볼 수 있는 영역의 넓이가 최대가 되도록 하는 $\displaystyle r$의 값을 구해보자. 이 문제는 커튼에 의해 가려진 영역의 넓이를 최소가 되도록 하는 $\displaystyle r$의 값을 구하는 것과 같다. 따라서 이 영역의 넓이$\displaystyle f(r)=\frac12\pi r^2+\frac{10(30-2r)}2$(단, $\displaystyle 0<r<10$)을 최소화하면 된다. $\displaystyle f^{\prime}(r)=\pi r-10$이므로 $\displaystyle f(r)$은 $\displaystyle r=\frac{10}\pi$일 때 최솟값을 갖는다. 한편 $\displaystyle f(r)$에서 무대의 폭 $\displaystyle 30$을 다른 수로 대체하더라도 $\displaystyle f^{\prime}(r)$의 값이 같으므로 $\displaystyle f(r)$이 최소가 되도록 하는 $\displaystyle r$의 값은 무대의 폭 $\displaystyle 30$과 무관하다.

이제 관객석에서 보면 폭이 $\displaystyle w$, 높이가 $\displaystyle h$인 직사각형 모양의 무대를 생각하자. 무대 천장의 한가운데에 <그림 2>와 같이 반지름의 길이가 $\displaystyle r$인 $\displaystyle n$개의 반원 모양의 커튼과 이 반원과 연결된 두 삼각형 모양의 커튼을 양쪽에 설치하려고 한다. 이때 커튼에 의해 가려진 부분을 제외하고 무대를 볼 수 있는 영역의 넓이가 최대가 되도록 하는 $\displaystyle r$의 값을 구해보자. 커튼에 의해 가려진 영역의 넓이$\displaystyle f(r)=\frac n2\pi r^2+\frac12(w-2nr)h$(단, $\displaystyle 0<r<h$이고 $\displaystyle 0<r<\frac w{2n}$)를 최소화하면 된다. 이 함수는 $\displaystyle r=\frac h\pi$가 $\displaystyle 0<r<h$, $\displaystyle 0<r<\frac w{2n}$를 만족시킬 때, 이 값에서 최솟값을 가짐을 보일 수 있다. 이 $\displaystyle r$의 값은 무대의 폭 $\displaystyle w$와 무관하다.