자연계열 1-3번

<다>좌표평면에서 원 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 위에 서로 다른 $\displaystyle n$개의 점 $\displaystyle \mathrm A_1,\mathrm A_2,\cdots,\mathrm A_n$이 있다고 하자. 이 $\displaystyle n$개의 점이 등식$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}+\cdots+\overrightarrow{\mathrm{OA}_n}=\vec0$를 만족시키는 경우에 대하여 알아보자. 먼저 $\displaystyle n=2$인 경우에는 점 $\displaystyle \mathrm A_1$을 원점에 대하여 대칭이동한 점이 점 $\displaystyle \mathrm A_2$일 때$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}=\vec0$가 됨을 쉽게 알 수 있다.

이제 $\displaystyle n=3$인 경우를 생각하자. <그림 3>과 같이 원 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 위에 $\displaystyle x$축의 양의 방향으로부터 시계반대방향의 순서대로 서로 다른 세 점 $\displaystyle \mathrm A_1$, $\displaystyle \mathrm A_2$, $\displaystyle \mathrm A_3$이 있다. 이 세 점이 등식$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_3}=\vec0$를 만족시키면 이 세 점이 정삼각형의 세 꼭짓점이 됨을 다음과 같이 보일 수 있다. <그림 3>과 같이 점 $\displaystyle \mathrm A_1$을 원점에 대하여 대칭이동한 점 $\displaystyle \mathrm B$를 생각하면 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_3}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$가 되어야 하므로 사각형 $\displaystyle \mathrm{OA}_2\mathrm{BA}_3$은 평행사변형이다. 그런데 두 변 $\displaystyle \mathrm{OA}_2$와 $\displaystyle \mathrm{OA}_3$은 원의 반지름으로 길이가 같으므로 사각형 $\displaystyle \mathrm{OA}_2\mathrm{BA}_3$은 마름모이다. 마름모의 두 대각선은 서로 수직이등분하므로 선분 $\displaystyle \mathrm A_2\mathrm A_3$은 선분 $\displaystyle \mathrm{OB}$를 수직이등분한다. 따라서 두 점 $\displaystyle \mathrm A_2$와 $\displaystyle \mathrm A_3$은 선분 $\displaystyle \mathrm{OB}$의 수직이등분선과 원의 교점이다. <그림 3>에서 선분 $\displaystyle \mathrm A_2\mathrm A_3$의 중점을 점 $\displaystyle \mathrm M$이라 하면 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OMA}_2$와 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_1\mathrm{MA}_2$가 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의하여 선분 $\displaystyle \mathrm A_2\mathrm M$의 길이는 $\displaystyle \frac{\sqrt3}2$이고 선분 $\displaystyle \mathrm A_1\mathrm A_2$의 길이는 $\displaystyle \sqrt3$임을 알 수 있다. 또한 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_1\mathrm A_2\mathrm A_3$의 다른 두 변의 길이도 $\displaystyle \sqrt3$임을 알 수 있다.

이제 점의 개수를 하나 더 늘려 $\displaystyle n=4$인 경우를 생각하자. <그림 4>와 같이 원 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 위에 $\displaystyle x$축의 양의 방향으로부터 시계반대방향의 순서대로 서로 다른 네 점 $\displaystyle \mathrm A_1$, $\displaystyle \mathrm A_2$, $\displaystyle \mathrm A_3$, $\displaystyle \mathrm A_4$가 있다. 이 네 점이 등식$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_3}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_4}=\vec0$를 만족시키는 경우에 대하여 알아보자. 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$의 끝점을 점 $\displaystyle \mathrm B$라 하고 점 $\displaystyle \mathrm B$를 원점에 대하여 대칭이동한 점을 점 $\displaystyle \mathrm C$라 하면 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_3}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_4}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$가 되어야 한다. 위의 $\displaystyle n=3$인 경우와 같은 방법으로 사각형 $\displaystyle \mathrm{OA}_3\mathrm{CA}_4$는 마름모가 됨을 보일 수 있다. 그런데 선분 $\displaystyle \mathrm{OC}$의 길이는 선분 $\displaystyle \mathrm{OB}$의 길이와 같고, 이는 $\displaystyle 2$보다 작으므로 선분 $\displaystyle \mathrm{OC}$의 수직이등분선은 원과 서로 다른 두 점에서 만난다. 따라서 두 점 $\displaystyle \mathrm A_3$과 $\displaystyle \mathrm A_4$는 선분 $\displaystyle \mathrm{OC}$의 수직이등분선과 원의 두 교점이 된다.

한편 $\displaystyle n=5$인 경우, 예를 들어 세 점 $\displaystyle \mathrm A_1(1,0)$, $\displaystyle \mathrm A_2\left(\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2\right)$, $\displaystyle \mathrm A_3(0,1)$에 대하여 등식$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_3}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_4}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_5}=\vec0$를 만족시키는 서로 다른 두 점 $\displaystyle \mathrm A_4$, $\displaystyle \mathrm A_5$는 원 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 위에 존재하지 않는다. 이는$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_3}=\left(1+\frac{\sqrt2}2,1+\frac{\sqrt2}2\right)$의 크기가 $\displaystyle 2$보다 크다는 사실을 이용하여 보일 수 있다.