자연계열 1-3번

■ 1-3(a)먼저 점 $\displaystyle \mathrm A_2$의 $\displaystyle y$좌표가 $\displaystyle 0$ 이하라 하면, 문제의 가정에 의하여 두 점 $\displaystyle \mathrm A_3$과 $\displaystyle \mathrm A_4$의 $\displaystyle y$좌표가 모두 음수가 되므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_3}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_4}=\vec0$를 만족시킬 수 없다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm A_2$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle 0$보다 크다. 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$의 끝점을 점 $\displaystyle \mathrm B$라 하고 점 $\displaystyle \mathrm B$를 원점에 대하여 대칭이동한 점을 점 $\displaystyle \mathrm C$라 두자. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$이므로 사각형 $\displaystyle \mathrm{OA}_1\mathrm{BA}_2$는 평행사변형이다. 그런데 두 변 $\displaystyle \mathrm{OA}_1$와 $\displaystyle \mathrm{OA}_2$는 원의 반지름으로 길이가 같으므로 사각형 $\displaystyle \mathrm{OA}_1\mathrm{BA}_2$는 마름모이다. 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하므로 선분 $\displaystyle \mathrm A_1\mathrm A_2$는 선분 $\displaystyle \mathrm{OB}$의 수직이등분선이다. 따라서 두 점 $\displaystyle \mathrm A_1$과 $\displaystyle \mathrm A_2$는 선분 $\displaystyle \mathrm{OB}$의 수직이등분선과 원 $\displaystyle x^2+y^2=1$의 두 교점이다. 같은 방법으로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_3}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_4}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$이므로 점 $\displaystyle \mathrm A_3$과 $\displaystyle \mathrm A_4$는 선분 $\displaystyle \mathrm{OC}$의 수직이등분선과 원 $\displaystyle x^2+y^2=1$의 두 교점임을 알 수 있다.

그림에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}_1}=\overline{\mathrm{OA}_3}=1$, $\displaystyle \overline{\mathrm A_1\mathrm B}=\overline{\mathrm A_3\mathrm C}=1$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{OC}}$이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OA}_1\mathrm B$와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OA}_3\mathrm C$는 합동이다. 따라서 $\displaystyle \angle\mathrm{BOA}_1=\angle\mathrm{COA}_3$이고 두 선분 $\displaystyle \mathrm{OB}$와 $\displaystyle \mathrm{OC}$가 일직선을 이루므로 두 선분 $\displaystyle \mathrm{OA}_1$과 $\displaystyle \mathrm{OA}_3$은 일직선을 이룬다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm A_3$는 점 $\displaystyle \mathrm A_1$을 원점에 대하여 대칭이동한 점 $\displaystyle \mathrm A_3(-1,0)$이다.

■ 1-3(b)점 $\displaystyle \mathrm A_4$, $\displaystyle \mathrm A_5$는 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_4}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_5}=(-\sqrt3-a,-b)$를 만족시키는 원 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 위의 점이다. 점 $\displaystyle \mathrm B(-\sqrt3-a,-b)$에 대하여 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_4}$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_5}$의 합이 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}$가 되어야 하므로 두 점 $\displaystyle \mathrm A_4$, $\displaystyle \mathrm A_5$가 원 위에 존재하기 위해서는 선분 $\displaystyle \mathrm{OB}$의 수직이등분선과 원이 서로 다른 두 점에서 만나야 한다. 즉, 선분 $\displaystyle \mathrm{OB}$의 길이가 $\displaystyle 2$ 미만이 되어야 한다. (선분 $\displaystyle \mathrm{OB}$의 길이가 $\displaystyle 2$일 때는 선분 $\displaystyle \mathrm{OB}$의 수직이등분선과 원이 접하여 한점에서 만난다.)

그러므로 $\displaystyle \mathrm A_3(a,b)$는 원 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 위의 점이면서 원$\displaystyle (x+\sqrt3)^2+y^2=4$의 내부의 점이다. 따라서, 점 $\displaystyle \mathrm A_3(a,b)$가 나타내는 도형은 반원이다. 그러므로 도형의 길이는 $\displaystyle \pi$이다.

<다른 풀이>점 $\displaystyle \mathrm A_3(\cos\theta,\sin\theta)$라 두면$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_4}+\overrightarrow{\mathrm{OA}_5}=(-\sqrt3-\cos\theta,-\sin\theta)$이다. 점 $\displaystyle \mathrm B(-\sqrt3-\cos\theta,-\sin\theta)$에 대하여 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_4}$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_5}$의 합이 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}$이므로 두 점 $\displaystyle \mathrm A_4$, $\displaystyle \mathrm A_5$가 원 위에 존재하기 위하여는 선분 $\displaystyle \mathrm{OB}$의 수직이등분선과 원이 서로 다른 두 점에서 만나야 한다. 즉, 선분 $\displaystyle \mathrm{OB}$의 길이가 $\displaystyle 2$ 미만이 되어야 한다. 따라서$\displaystyle \sqrt{(\cos\theta+\sqrt3)^2+\sin^2\theta}<2,$즉, $\displaystyle 2\sqrt3\cos\theta<0$이므로 이를 풀면 $\displaystyle \frac\pi2<\theta<\frac{3\pi}2$이고 점 $\displaystyle \mathrm A_3$가 나타내는 도형은 반원이다. 그러므로 도형의 길이는 $\displaystyle \pi$이다.