자연계열 1-2번

■ 1-2(a)먼저 $\displaystyle f(x)>b$이면, $\displaystyle f(x)>b>a$이므로$\displaystyle h(f(x)-a)+a=a$이고$\displaystyle h(f(x)-b)+b=b$이다. 따라서 부등식은 성립한다. 이제 $\displaystyle a<f(x)\le b$이면$\displaystyle h(f(x)-a)+a=a$이고$\displaystyle h(f(x)-b)+b=f(x)-b+b=f(x)$이다. 따라서 부등식은 성립한다. 마지막으로 $\displaystyle f(x)\le a$이면 $\displaystyle f(x)\le a<b$이므로$\displaystyle h(f(x)-a)+a=f(x)-a+a=f(x)$이고$\displaystyle h(f(x)-b)+b=f(x)-b+b=f(x)$이다. 따라서 부등식은 성립한다.

■ 1-2(b)함수 $\displaystyle f$가 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle h(f(x)-7)+7\le h(f(x)-5)+5$를 만족시킨다고 하자. 결론을 부정하여 어떤 실수 $\displaystyle c$에 대하여 $\displaystyle f(c)>5$이라고 가정하자. 그러면$\displaystyle h(f(c)-7)+7\le h(f(c)-5)+5$이고 논제 1-2(a)에 의하여$\displaystyle h(f(c)-5)+5\le h(f(c)-7)+7$이므로$\displaystyle h(f(c)-7)+7=h(f(c)-5)+5$이다. 그런데 $\displaystyle 5<f(c)\le7$이면$\displaystyle h(f(c)-7)+7=f(c)>5=h(f(c)-5)+5$이므로 모순이고, $\displaystyle f(c)>7$이면$\displaystyle h(f(c)-7)+7=7>5=h(f(c)-5)+5$이므로 모순이다. 따라서 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)\le5$이다.

역으로 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)\le5$이면 $\displaystyle f(x)\le5<7$이므로 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle h(f(x)-7)+7=f(x)=h(f(x)-5)+5$가 성립한다. 따라서 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle h(f(x)-7)+7\le h(f(x)-5)+5$가 성립한다.