자연계열 1-2번

<나>함수 $\displaystyle g$를$\displaystyle g(x)=\begin{cases}x&(x\ge0)\\0&(x<0)\end{cases}$으로 정의할 때, 임의의 함수 $\displaystyle f$와 임의의 실수 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$에 대하여, $\displaystyle a<b$이면 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle g(f(x)-a)+a\le g(f(x)-b)+b\qquad\cdots\cdots②$가 성립한다.

이는 다음과 같이 보일 수 있다. 먼저 $\displaystyle f(x)\ge b$이면, $\displaystyle f(x)\ge b>a$이므로$\displaystyle g(f(x)-a)+a=f(x)-a+a=f(x)$이고$\displaystyle g(f(x)-b)+b=f(x)-b+b=f(x)$이다. 따라서 ②는 성립한다. 이제 $\displaystyle a\le f(x)<b$이면$\displaystyle g(f(x)-a)+a=f(x)-a+a=f(x)$이고$\displaystyle g(f(x)-b)+b=b$이다. 따라서 ②는 성립한다. 마지막으로 $\displaystyle f(x)<a$이면 $\displaystyle f(x)<a<b$이므로$\displaystyle g(f(x)-a)+a=a$이고$\displaystyle g(f(x)-b)+b=b$이다. 따라서 ②는 성립한다.

한편 아래의 명제를 생각하자.③ 함수 $\displaystyle f$가 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle g(f(x)-2)+2\le g(f(x)-1)+1$을 만족시키는 것은 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)\ge2$이기 위한 필요충분조건이다.

명제 ③은 ②를 이용하여 다음과 같이 보일 수 있다. 함수 $\displaystyle f$가 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle g(f(x)-2)+2\le g(f(x)-1)+1\qquad\cdots\cdots④$을 만족시킨다고 하자. 결론을 부정하여 어떤 실수 $\displaystyle c$에 대하여 $\displaystyle f(c)<2$라고 가정하자. ④에 의하여$\displaystyle g(f(c)-2)+2\le g(f(c)-1)+1$이고 ②에 의하여$\displaystyle g(f(c)-1)+1\le g(f(c)-2)+2$이므로$\displaystyle g(f(c)-2)+2=g(f(c)-1)+1$이다. 이것은 모순임을 보일 수 있다. 따라서 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)\ge2$이다. 역으로 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)\ge2$이면 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle g(f(x)-2)+2\le g(f(x)-1)+1$이 성립함도 보일 수 있다.