자연계열 1-1번

■ 1-1(a)$\displaystyle n=p^k$이면 양의 약수의 총합은 $\displaystyle 1+p+p^2+\cdots+p^k=\frac{p^{k+1}-1}{p-1}$이다.

$\displaystyle n$이 완전수라 가정하면 $\displaystyle \frac{p^{k+1}-1}{p-1}=2n=2p^k$이다.따라서 $\displaystyle p^{k+1}-1=2p^{k+1}-2p^k$, 즉 $\displaystyle p^k(p-2)=-1$이다. 이때 $\displaystyle p=2$이면 $\displaystyle 0=-1$이므로 모순이고, $\displaystyle p>2$이면 $\displaystyle k$는 자연수이므로 좌변은 $\displaystyle p$의 배수이나 우변은 $\displaystyle p$의 배수가 아니므로 모순이다. 그러므로 $\displaystyle n$은 완전수가 될 수 없다.

■ 1-1(b)$\displaystyle m$이 홀수이므로 $\displaystyle n$의 양의 약수들은 $\displaystyle m$의 양의 약수를 $\displaystyle 1$배, $\displaystyle 2$배, $\displaystyle 4$배, $\displaystyle 8$배한 수이다. 따라서 $\displaystyle m$의 양의 약수의 총합을 $\displaystyle f(m)$이라 하면 $\displaystyle n$의 양의 약수의 총합은 $\displaystyle (1+2+4+8)f(m)=15f(m)$이다. 따라서 $\displaystyle n$이 완전수라면 $\displaystyle 15f(m)=16m$을 만족시킨다. 그러므로 $\displaystyle m$은 $\displaystyle 15$의 배수이다.

$\displaystyle m=15k$로 두면 $\displaystyle f(m)=16k$이다. 여기서 $\displaystyle k\ge1$이므로 $\displaystyle k$, $\displaystyle 3k$, $\displaystyle 5k$, $\displaystyle 15k$가 모두 서로 다른 $\displaystyle m$의 양의 약수이고 $\displaystyle f(m)\ge k+3k+5k+15k$가 되어 모순이다. 따라서 $\displaystyle n$은 완전수가 아니다.