자연계열 1-1번

<가>자연수 $\displaystyle n$의 양의 약수의 총합이 $\displaystyle 2n$이 될 때, $\displaystyle n$을 완전수라 부른다. 예를 들어 $\displaystyle 6$은 양의 약수가 $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 3$, $\displaystyle 6$이므로 이를 모두 더한 값이 $\displaystyle 6$의 $\displaystyle 2$배가 되어 완전수이다. 또 다른 예로 $\displaystyle 28$은 양의 약수가 $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 4$, $\displaystyle 7$, $\displaystyle 14$, $\displaystyle 28$이므로 이를 모두 더하면 $\displaystyle 28$의 $\displaystyle 2$배가 되어 완전수이다. 이보다 더 큰 완전수로는 $\displaystyle 496$, $\displaystyle 8128$ 등이 있으며 완전수가 유한한지 아니면 무한히 많은지는 알려져 있지 않다.

자연수 $\displaystyle n$을 소인수분해하였을 때, $\displaystyle n=pq$ (단, $\displaystyle p$, $\displaystyle q$는 $\displaystyle p<q$인 소수)인 경우 $\displaystyle n$이 완전수가 되는지 알아보자. $\displaystyle n=pq$의 양의 약수는 $\displaystyle 1$, $\displaystyle p$, $\displaystyle q$, $\displaystyle pq$이므로 약수들의 합은 $\displaystyle 1+p+q+pq$이다. 따라서 $\displaystyle n$이 완전수가 되기 위하여 $\displaystyle 1+p+q+pq=2pq$가 되어야 한다. 즉, $\displaystyle pq-p-q-1=0$이다. 이를 풀면 $\displaystyle p=2$, $\displaystyle q=3$이 되어야 함을 확인할 수 있다. 그러므로 두 소수의 곱인 완전수는 $\displaystyle 6$이 유일함을 알 수 있다.

이제 자연수 $\displaystyle n$이 $\displaystyle n=4m$ ($\displaystyle m$은 홀수)일 때 $\displaystyle n$이 완전수가 될 조건을 구해보자. $\displaystyle m$이 홀수이므로 $\displaystyle n$의 양의 약수는 $\displaystyle m$의 양의 약수를 $\displaystyle 1$배, $\displaystyle 2$배, $\displaystyle 4$배한 수이다. $\displaystyle m$의 양의 약수의 총합을 $\displaystyle f(m)$이라 하면 $\displaystyle n$의 양의 약수의 총합은 $\displaystyle (1+2+4)f(m)=7f(m)$이다. 그러므로 $\displaystyle n$이 완전수라면 $\displaystyle 7f(m)=8m$을 만족시킨다. 이때 $\displaystyle 7$은 소수이므로 $\displaystyle m$은 $\displaystyle 7$의 배수이다. $\displaystyle m=7k$ ($\displaystyle k$는 자연수)로 두면 $\displaystyle f(m)=8k$이다. 만약 $\displaystyle k\ge2$이면, $\displaystyle 1$, $\displaystyle k$, $\displaystyle 7k$가 모두 서로 다른 $\displaystyle m$의 양의 약수이므로 $\displaystyle f(m)\ge1+k+7k=8k+1$이 되어 모순이다. 만약 $\displaystyle k=1$이라면 $\displaystyle n=28$이고 이는 완전수이다. 따라서 $\displaystyle n=4m$인 완전수는 $\displaystyle 28$뿐임을 알 수 있다.