자연계열 1-3번

■ 1-3(a)$\displaystyle S_n=\ln(1+x)+\ln(1+x^2)+\ln(1+x^4)+\cdots+\ln(1+x^{2^{n-1}})$으로 두자.$\displaystyle S=\lim_{n\to\infty}S_n$가 수렴하도록 하는 실수 $\displaystyle x$의 값의 범위를 구하면 된다.$\displaystyle \begin{aligned}S_n&=\ln(1+x)+\ln(1+x^2)+\ln(1+x^4)+\cdots+\ln(1+x^{2^{n-1}})\\&=\ln(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\cdots(1+x^{2^{n-1}})\\&=\ln(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^{2^n-1})\end{aligned}$그리고 $\displaystyle T_n=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^{2^n-1}$이라고 하자.$\displaystyle T_n=\begin{cases}\frac{1-x^{2^n}}{1-x}&(x\ne1)\\2^n&(x=1)\end{cases}$

이로부터 $\displaystyle |x|<1$에 대하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}T_n=\frac1{1-x}$가 성립한다. 그러므로 $\displaystyle |x|<1$에 대하여 $\displaystyle S$가 수렴한다.

별해: 제시문 <다>에서 주어진 풀이를 이용하여 다음과 같이 답을 구할 수도 있다. 제시문 <다>에서 주어진 식$\displaystyle \ln\left(1-\frac1x\right)\left(1+\frac1x\right)\left(1+\frac1{x^2}\right)\left(1+\frac1{x^4}\right)\cdots\left(1+\frac1{x^{2^{n-2}}}\right)=\ln\left(1-\frac1{x^{2^{n-1}}}\right)$에 $\displaystyle x=\frac1t$을 대입하면$\displaystyle \ln(1-t)(1+t)(1+t^2)(1+t^4)\cdots(1+t^{2^{n-2}})=\ln(1-t^{2^{n-1}})$을 얻는다. 따라서$\displaystyle \ln(1+t)(1+t^2)(1+t^4)\cdots(1+t^{2^{n-2}})=\ln(1-t^{2^{n-1}})-\ln(1-t)$이다. 그러므로 제시문 <다>의 결과를 이용하면 $\displaystyle |t|<1$에 대하여 주어진 급수가 수렴한다.

■ 1-3(b)1-3(a)의 풀이에서 $\displaystyle |x|<1$에 대하여 $\displaystyle f(x)=-\ln(1-x)$임을 얻는다.$\displaystyle f(x)=-\ln(1-x)\quad(|x|<1)$

$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac1{1-x}>0$$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac1{(1-x)^2}>0$을 만족시킨다. 또한 $\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)=\infty$이므로 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 오른쪽의 그림과 같다.

별해: $\displaystyle f(x)=-\ln(1-x)$의 그래프는 $\displaystyle y=\ln x$의 그래프의 대칭성을 이용하여 미분을 이용하지 않고 그릴 수도 있다