자연계열 1-3번

숙명여대 2021학년도 모의 자연계열 1-3번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2021mo/jayeon_1_3

<다>급수 $\displaystyle \ln\left(1-\frac1x\right)+\ln\left(1+\frac1x\right)+\ln\left(1+\frac1{x^2}\right)+\ln\left(1+\frac1{x^4}\right)+\ln\left(1+\frac1{x^8}\right)+\cdots+\ln\left(1+\frac1{x^{2^{n-2}}}\right)+\cdots$ 가 수렴하도록 하는 실수 $\displaystyle x$ 의 값의 범위를 찾아보자. 우선 로그의 진수는 양수이므로 $\displaystyle 1-\frac1x>0$ 이고 $\displaystyle 1+\frac1x>0$ 이다. 따라서 $\displaystyle |x|>1$ 은 주어진 급수가 수렴하기 위한 필요조건임을 알 수 있다. 또한 로그의 성질을 사용하여 이 급수의 제 $\displaystyle n$ 항까지의 부분합 $\displaystyle S_n$ ( $\displaystyle n\ge2$ )을 계산하면 다음과 같다. $\displaystyle \begin{aligned}S_n&=\ln\left(1-\frac1x\right)\left(1+\frac1x\right)\left(1+\frac1{x^2}\right)\left(1+\frac1{x^4}\right)\cdots\left(1+\frac1{x^{2^{n-2}}}\right)\\&=\ln\left(1-\frac1{x^2}\right)\left(1+\frac1{x^2}\right)\left(1+\frac1{x^4}\right)\cdots\left(1+\frac1{x^{2^{n-2}}}\right)\\&=\ln\left(1-\frac1{x^4}\right)\left(1+\frac1{x^4}\right)\cdots\left(1+\frac1{x^{2^{n-2}}}\right)\\&=\ln\left(1-\frac1{x^{2^{n-1}}}\right)\end{aligned}$ 또한 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{x^{2^{n-1}}}=\begin{cases}0&(|x|>1)\\1&(|x|=1)\\\infty&(|x|<1)\end{cases}$ 이므로 $\displaystyle |x|>1$ 일 때 $\displaystyle S_n$ 이 수렴한다. 그러므로 주어진 급수가 수렴하기 위한 $\displaystyle x$ 의 범위는 $\displaystyle |x|>1$ 이다.

1-3. 제시문 <다>를 읽고 급수 $\displaystyle \ln(1+x)+\ln(1+x^2)+\ln(1+x^4)+\cdots+\ln(1+x^{2^{n-1}})+\cdots$ 에 대하여 다음 문제에 답하시오.

1-3(a). 위 급수가 수렴하도록 하는 실수 $\displaystyle x$ 의 값의 범위를 구하시오.

1-3(b). 위 급수의 합을 $\displaystyle f(x)$ 라고 할 때 1-3(a)에서 구한 $\displaystyle x$ 의 범위에서 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프를 그리시오.

해설강의 준비중

숙명여대 2021학년도 모의 자연계열 1-3번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2021mo/jayeon_1_3

1단계 · 제시문 <다>의 핵심 내용을 정확하게 파악한다.

2단계 · 제시문 <다>에서 논의된 과정을 문제에 적용하여 설명한다.

3단계 · 주어진 급수의 부분합을 로그의 성질을 이용하여 계산한다.

■ 1-3(a) $\displaystyle S_n=\ln(1+x)+\ln(1+x^2)+\ln(1+x^4)+\cdots+\ln(1+x^{2^{n-1}})$ 으로 두자. $\displaystyle S=\lim_{n\to\infty}S_n$ 가 수렴하도록 하는 실수 $\displaystyle x$ 의 값의 범위를 구하면 된다. $\displaystyle \begin{aligned}S_n&=\ln(1+x)+\ln(1+x^2)+\ln(1+x^4)+\cdots+\ln(1+x^{2^{n-1}})\\&=\ln(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\cdots(1+x^{2^{n-1}})\\&=\ln(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^{2^n-1})\end{aligned}$ 그리고 $\displaystyle T_n=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^{2^n-1}$ 이라고 하자. $\displaystyle T_n=\begin{cases}\frac{1-x^{2^n}}{1-x}&(x\ne1)\\2^n&(x=1)\end{cases}$

4단계 · 주어진 급수의 부분합이 수렴하도록 하는 실수

\displaystyle x

의 값의 범위를 구한다.

이로부터 $\displaystyle |x|<1$ 에 대하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}T_n=\frac1{1-x}$ 가 성립한다. 그러므로 $\displaystyle |x|<1$ 에 대하여 $\displaystyle S$ 가 수렴한다.

3단계 · 주어진 급수의 부분합을 로그의 성질을 이용하여 계산한다.

별해: 제시문 <다>에서 주어진 풀이를 이용하여 다음과 같이 답을 구할 수도 있다. 제시문 <다>에서 주어진 식 $\displaystyle \ln\left(1-\frac1x\right)\left(1+\frac1x\right)\left(1+\frac1{x^2}\right)\left(1+\frac1{x^4}\right)\cdots\left(1+\frac1{x^{2^{n-2}}}\right)=\ln\left(1-\frac1{x^{2^{n-1}}}\right)$ 에 $\displaystyle x=\frac1t$ 을 대입하면 $\displaystyle \ln(1-t)(1+t)(1+t^2)(1+t^4)\cdots(1+t^{2^{n-2}})=\ln(1-t^{2^{n-1}})$ 을 얻는다. 따라서 $\displaystyle \ln(1+t)(1+t^2)(1+t^4)\cdots(1+t^{2^{n-2}})=\ln(1-t^{2^{n-1}})-\ln(1-t)$ 이다.

4단계 · 주어진 급수의 부분합이 수렴하도록 하는 실수

\displaystyle x

의 값의 범위를 구한다.

그러므로 제시문 <다>의 결과를 이용하면 $\displaystyle |t|<1$ 에 대하여 주어진 급수가 수렴한다.

1단계 · 제시문 <다>의 핵심 내용을 정확하게 파악한다.

2단계 · 제시문 <다>에서 논의된 과정을 문제에 적용하여 설명한다.

5단계 · 주어진 급수가 수렴하는 범위에서

\displaystyle y=f(x)

를 구한다.

■ 1-3(b)1-3(a)의 풀이에서 $\displaystyle |x|<1$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)=-\ln(1-x)$ 임을 얻는다. $\displaystyle f(x)=-\ln(1-x)\quad(|x|<1)$

6단계 · 그래프를 이계도함수 혹은 대칭성을 이용하여 그린다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac1{1-x}>0$ $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac1{(1-x)^2}>0$ 을 만족시킨다. 또한 $\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)=\infty$ 이므로 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프는 오른쪽의 그림과 같다.

별해: $\displaystyle f(x)=-\ln(1-x)$ 의 그래프는 $\displaystyle y=\ln x$ 의 그래프의 대칭성을 이용하여 미분을 이용하지 않고 그릴 수도 있다

등급	기준
1등급	위의 6가지 기준을 모두 충족시키고 논리 전개가 완벽한 경우
2등급	위의 6가지 기준을 모두 충족하나 논리 전개나 표현력이 다소 떨어지는 경우
3등급	위의 6가지 기준 중 1, 2의 요건을 정확하게 충족시키고, 3-6의 요건 중 3가지를 만족하는 경우
4등급	위의 6가지 기준 중 1, 2의 요건을 충족시키고, 3-6의 요건 중 2가지를 만족하는 경우
5등급	위의 6가지 기준 중 1, 2의 요건을 충족시키고, 3-6의 요건 중 2가지를 만족하나 논리 전개 및 계산이 다소 미흡한 경우
6등급	위의 6가지 기준 중 1, 2의 요건을 충족시키고, 3-6의 요건 중 1가지를 만족하는 경우
7등급	위의 6가지 기준 중 1, 2의 요건을 충족시키지만, 3-6의 요건을 충족시키지 못한 경우
8등급	위의 6가지 기준 중 1, 2의 요건을 충족시키지 않은 경우
9등급	위의 6가지 기준을 대부분 충족시키지 못한 경우

각 세부 문제별로 다음과 같은 기준을 만족시켜야 한다.

각 세부 문제별로 다음의 기준으로 채점한다.

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