자연계열 1-2번

<나>함수 $\displaystyle f(x)$가 어떤 구간에 속하는 임의의 두 실수 $\displaystyle x_1$, $\displaystyle x_2$에 대하여 $\displaystyle x_1<x_2$일 때 $\displaystyle f(x_1)<f(x_2)$이면 $\displaystyle f(x)$는 이 구간에서 증가한다고 한다. 또, $\displaystyle x_1<x_2$일 때 $\displaystyle f(x_1)>f(x_2)$이면 $\displaystyle f(x)$는 이 구간에서 감소한다고 한다.

함수 $\displaystyle f(x)$가 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에서 미분가능하면 이 구간에 속하는 두 실수 $\displaystyle x_1$, $\displaystyle x_2$ ($\displaystyle x_1<x_2$)에 대하여 닫힌구간 $\displaystyle [x_1,x_2]$에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle (x_1,x_2)$에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f^{\prime}(c)$인 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (x_1,x_2)$에 적어도 하나 존재한다.

이제 아래의 세 가지 조건을 만족시키는 함수 $\displaystyle f(x)$를 생각해보자.(1) $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle [0,\infty)$에서 연속이다.(2) $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle f(x)$가 미분가능하고 $\displaystyle f^{\prime}(x)<1$이다.(3) $\displaystyle f(0)=0$이다.

이때 $\displaystyle x>0$이면 $\displaystyle f(x)<x$임을 평균값 정리를 이용하여 다음과 같이 보일 수 있다. 함수 $\displaystyle f(x)$가 조건 (1)과 (2)를 만족시키므로 닫힌구간 $\displaystyle [0,x]$에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle (0,x)$에서 미분가능하다. 따라서 평균값 정리에 의하여 $\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime}(y)$가 되는 $\displaystyle y$가 열린구간 $\displaystyle (0,x)$에 존재한다. 이 식을 정리하면 $\displaystyle f(x)-f(0)=xf^{\prime}(y)$이다. 여기서 $\displaystyle y>0$이므로 조건 (2)에 의하여 $\displaystyle f^{\prime}(y)<1$이다. 조건 (3)에서 $\displaystyle f(0)=0$이므로 $\displaystyle f(x)=xf^{\prime}(y)<x$이다. 그러므로 $\displaystyle f(x)<x$이다.

(1) $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle [0,\infty)$에서 연속이다.

(2) $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle f(x)$가 미분가능하다.

(3) $\displaystyle f(0)=0$이다.

(4) $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 구간 $\displaystyle [0,\infty)$에서 증가한다.