자연계열 1-2번

■ 1-2(a)함수 $\displaystyle f(x)$가 조건 (1)과 (2)를 만족시키므로 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에서 미분가능하다. 따라서 평균값 정리에 의하여 $\displaystyle \frac{f(1)-f(0)}{1-0}=f^{\prime}(x)$가 되는 $\displaystyle x$가 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에 적어도 하나 존재한다. 조건 (3)에 의하여$\displaystyle f(1)=f(1)-f(0)=f^{\prime}(x)$이다. 그러므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=f(1)$가 되는 $\displaystyle x$가 존재한다.

■ 1-2(b)$\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle x>0$에서 증가함을 보이기 위하여 $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle g^{\prime}(x)>0$임을 보이면 된다.$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{xf^{\prime}(x)-f(x)}{x^2}$이고 $\displaystyle x^2>0$이므로 $\displaystyle xf^{\prime}(x)-f(x)>0$이면 $\displaystyle g^{\prime}(x)>0$이다. 따라서 $\displaystyle g^{\prime}(x)>0$을 보이기 위하여 $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle xf^{\prime}(x)-f(x)>0$을 보이면 된다.

함수 $\displaystyle f(x)$가 조건 (1)과 (2)를 만족시키므로 닫힌구간 $\displaystyle [0,x]$에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle (0,x)$에서 미분가능하다. 따라서 평균값 정리에 의하여 $\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime}(y)$가 되는 $\displaystyle y$가 열린구간 $\displaystyle (0,x)$에 존재한다. 위의 식을 정리하면$\displaystyle f(x)-f(0)=xf^{\prime}(y)$

이다. 이때 $\displaystyle y<x$이므로 조건 (4)에 의해 $\displaystyle f^{\prime}(y)<f^{\prime}(x)$이다. 조건 (3)에 의해 $\displaystyle f(0)=0$이므로 $\displaystyle f(x)=f(x)-f(0)=xf^{\prime}(y)<xf^{\prime}(x)$이다. 따라서 $\displaystyle xf^{\prime}(x)-f(x)>0$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(x)>0$이다. 그러므로 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x>0$에서 증가한다.