자연계열 1-1번

<가>실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)$가 다음 두 조건을 만족시킨다.㉠ 어떤 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)\ne0$이다.㉡ 임의의 두 실수 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$에 대하여 $\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)$이다.이때 함수 $\displaystyle f(x)$는 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle f(nx)=nf(x)$이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $\displaystyle g(x)$가 다음 두 조건을 만족시킨다.㉢ 어떤 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g(x)\ne0$이다.㉣ 임의의 두 실수 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$에 대하여 $\displaystyle g(x+y)=g(x)g(y)$이다.이때 함수 $\displaystyle g(x)$는 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle g(nx)=\{g(x)\}^n\qquad\cdots\cdots①$이다.

모든 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $\displaystyle h(x)$가 다음 두 조건을 만족시킨다.㉤ 어떤 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle h(x)\ne0$이다.㉥ 임의의 양의 두 실수 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$에 대하여 $\displaystyle h(xy)=h(x)h(y)$이다.이때 $\displaystyle h(x_0)\ne0$을 만족시키는 양의 실수 $\displaystyle x_0$이 존재하고, 임의의 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle h(x_0)=h\left(x\cdot\frac{x_0}x\right)=h(x)h\left(\frac{x_0}x\right)$이므로 $\displaystyle h(x)\ne0$이다. 한편, 양의 실수 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle k(x)=\ln\{h(a^x)\}$이라 하면$\displaystyle k(x+y)=k(x)+k(y)$이다.

1) 어떤 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle p(x)\ne-1$이다.

2) 임의의 두 실수 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$에 대하여 $\displaystyle p(x+y)=p(x)+p(y)+p(x)p(y)$이다.