자연계열 1-1번

■ 1-1(a)(i) $\displaystyle n=1$일 때, $\displaystyle (\text{좌변})=g(x)$, $\displaystyle (\text{우변})=g(x)$이므로 성립한다.(ii) $\displaystyle n=k$일 때, 등식 ①이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle g(kx)=\{g(x)\}^k$이다. 이때$\displaystyle g((k+1)x)=g(kx+x)=g(kx)g(x)=\{g(x)\}^kg(x)=\{g(x)\}^{k+1}$이므로 $\displaystyle n=k+1$일 때도 등식 ①은 성립한다.(i), (ii)에 의하여 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 등식 ①은 성립한다.

조건 ㉢에 의하여 $\displaystyle g(x_0)\ne0$인 실수 $\displaystyle x_0$이 존재한다. 이때 임의의 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle g(x_0)=g(x+(x_0-x))=g(x)g(x_0-x)$이므로 $\displaystyle g(x)\ne0$이다. 임의의 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle g(x)=g\left(\frac x2+\frac x2\right)=\left\{g\left(\frac x2\right)\right\}^2\ge0$이다. 한편, $\displaystyle g(x)\ne0$이므로 $\displaystyle g(x)>0$이다.

■ 1-1(b)$\displaystyle u(x)=p(x)+1$이라 하면$\displaystyle \begin{aligned}u(x+y)&=p(x+y)+1=p(x)+p(y)+p(x)p(y)+1\\&=(p(x)+1)(p(y)+1)=u(x)u(y)\end{aligned}$

이다. 어떤 실수 $\displaystyle x_0$에 대하여 $\displaystyle p(x_0)\ne-1$이므로 $\displaystyle u(x_0)\ne0$이다. 따라서 등식 ①에 의하여$\displaystyle u(2021x)=\{u(x)\}^{2021}$이다. 즉,$\displaystyle p(2021x)+1=\{p(x)+1\}^{2021}$이다.