자연계열 1-3번

■ 1-3(a)$\displaystyle f(x)=x^3+6x^2+9x+c$라 하자. $\displaystyle A$가 경기에서 이기기 위한 $\displaystyle c$의 범위를 구해보자. 방정식 $\displaystyle f(x)=0$이 서로 다른 세 개의 실근을 가져야 하므로 함수 $\displaystyle f(x)$의 극값들의 부호가 달라야 한다. 먼저$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+12x+9=3(x+1)(x+3)=0$을 풀면 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=-3$에서 극댓값, $\displaystyle x=-1$에서 극솟값을 가진다는 것을 알 수 있고, 서로 다른 세 개의 실근을 가지기 위하여$\displaystyle f(-1)=c-4<0,\quad f(-3)=c>0$임을 알 수 있다. 그러므로$\displaystyle 0<c<4\qquad\cdots\cdots①$이다. 또한,

(i) 극솟값 $\displaystyle f(-1)<0$이고 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$이므로 $\displaystyle f(x)$는 열린구간 $\displaystyle (-1,\infty)$에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.(ii) $\displaystyle f(-3)f(-1)<0$이므로 사잇값의 정리에 의하여 열린구간 $\displaystyle (-3,-1)$에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.(iii) 극댓값 $\displaystyle f(-3)>0$이고 $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$이므로 열린구간 $\displaystyle (-\infty,-3)$에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.열린구간 $\displaystyle (-5,-3)$에서 적어도 하나의 실근을 가져야 하므로 (i), (ii), (iii)에 의하여 열린구간 $\displaystyle (-5,-3)$에서 단 하나의 실근을 갖는다. 따라서$\displaystyle f(-3)f(-5)=c(c-20)<0$을 만족시켜야 한다. 그러므로 $\displaystyle c$의 범위는$\displaystyle 0<c<20\qquad\cdots\cdots②$이다.따라서 방정식 $\displaystyle f(x)=0$이 열린구간 $\displaystyle (-5,-3)$에서 적어도 하나의 실근을 가지며 $\displaystyle A$가 이기기 위한 $\displaystyle c$의 범위는 ①과 ②를 동시에 만족시켜야 하므로 $\displaystyle 0<c<4$이다.

■ 1-3(b)첫 번째, $\displaystyle A$는 $\displaystyle c$를 선택한 후에 $\displaystyle 1$로 바꾼다.두 번째, $\displaystyle B$는 $\displaystyle a$ 또는 $\displaystyle b$ 중 하나를 선택한 후 그것을 어떤 실수로 바꾼다.세 번째, $\displaystyle A$는 $\displaystyle B$가 바꾼 계수와 남은 계수의 합이 $\displaystyle -3$이 되도록 남은 계수를 바꾼다.위의 결과로 만들어진 삼차방정식은 다음과 같다.$\displaystyle x^3+ax^2+bx+1=0,\quad a+b=-3$이 삼차방정식은 서로 다른 세 실근을 가진다. 그 이유는 다음과 같다.

(i) $\displaystyle f(x)=x^3+ax^2+bx+1$이라고 하면 함수 $\displaystyle f(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 연속이고$\displaystyle f(0)=1>0$이고 $\displaystyle f(1)=1+a+b+1=1-3+1=-1<0$이므로, 사잇값의 정리에 의하여 $\displaystyle f(k)=0$인 $\displaystyle k$가 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에 적어도 하나 존재한다.(ii) $\displaystyle x\to-\infty$일 때 $\displaystyle f(x)\to-\infty$이고 $\displaystyle f(0)=1>0$이므로 $\displaystyle f(l)=0$인 실근 $\displaystyle l$이 열린구간 $\displaystyle (-\infty,0)$에 적어도 하나 존재한다.(iii) $\displaystyle x\to\infty$일 때 $\displaystyle f(x)\to\infty$이고 $\displaystyle f(1)=-1<0$이므로 $\displaystyle f(m)=0$인 실근 $\displaystyle m$이 열린구간 $\displaystyle (1,\infty)$에 적어도 하나 존재한다.

그러므로 방정식 $\displaystyle f(x)=0$은 (i), (ii), (iii)에 의하여 서로 다른 세 실근을 갖는다. 따라서 $\displaystyle A$가 경기에서 이긴다.