자연계열 1-2번

■ 1-2(a)(i) $\displaystyle x\ne0$이고 $\displaystyle k\ne0$인 경우,$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(kx)&=f^{\prime}\left(\frac{(k+1)x+(k-1)x}2\right)\\&=\frac{f((k+1)x)-f((k-1)x)}{(k+1)x-(k-1)x}\\&=\frac{f((k+1)x)-f((k-1)x)}{2x}\end{aligned}$이고$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=f^{\prime}\left(\frac{(k+1)x+(1-k)x}2\right)\\&=\frac{f((k+1)x)-f((1-k)x)}{(k+1)x-(1-k)x}\\&=\frac{f((k+1)x)-f(-(k-1)x)}{2kx}\\&=\frac{f((k+1)x)-f((k-1)x)}{2kx}\end{aligned}$이다. 따라서 $\displaystyle kf^{\prime}(x)=f^{\prime}(kx)$가 성립한다.

(ii) $\displaystyle x=0$인 경우,$\displaystyle kf^{\prime}(0)=f^{\prime}(k\cdot0)=f^{\prime}(0)=0$이므로 $\displaystyle kf^{\prime}(x)=f^{\prime}(kx)$가 성립한다.(iii) $\displaystyle k=0$인 경우, $\displaystyle 0=f^{\prime}(0)$이므로 $\displaystyle kf^{\prime}(x)=f^{\prime}(kx)$가 성립한다.따라서 (i), (ii), (iii)에 의하여 임의의 두 실수 $\displaystyle k,x$에 대하여 $\displaystyle kf^{\prime}(x)=f^{\prime}(kx)$가 성립한다.

■ 1-2(b)$\displaystyle f^{\prime}(x)=f^{\prime}\left(\frac x2\cdot2\right)=\frac x2f^{\prime}(2)=\frac x2\cdot4=2x$

이므로$\displaystyle f(x)=x^2+C$(단, $\displaystyle C$는 상수이다.)이다. 한편, $\displaystyle f(0)=0$이므로 $\displaystyle f(x)=x^2$이다.