자연계열 1-2번

<나>함수 $\displaystyle f(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 평균값 정리에 의하면 $\displaystyle a<b$인 임의의 두 실수 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$에 대하여$\displaystyle f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$인 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에 적어도 하나 존재한다. 이러한 실수 $\displaystyle c$가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$의 중점이 되는 함수 $\displaystyle f(x)$에 대하여 알아보자. 이제 임의의 서로 다른 두 실수 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$에 대하여$\displaystyle \frac{f(x)-f(y)}{x-y}=f^{\prime}\left(\frac{x+y}2\right),\quad f^{\prime}(0)=0\quad\cdots\cdots②$이라고 가정하자. 위의 등식 ②에서 $\displaystyle y=-x$이면$\displaystyle \frac{f(x)-f(-x)}{x-(-x)}=f^{\prime}(0)=0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle f(-x)=f(x)$를 만족시킨다.(i) $\displaystyle x\ne0$이면,$\displaystyle f^{\prime}(3x)=f^{\prime}\left(\frac{4x+2x}2\right)=\frac{f(4x)-f(2x)}{4x-2x}=\frac{f(4x)-f(2x)}{2x}$이다. 한편,$\displaystyle f^{\prime}(x)=f^{\prime}\left(\frac{4x+(-2x)}2\right)=\frac{f(4x)-f(-2x)}{4x-(-2x)}=\frac{f(4x)-f(2x)}{6x}$이므로$\displaystyle 3f^{\prime}(x)=f^{\prime}(3x)$이다.(ii) $\displaystyle x=0$이면, ②에 의하여 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0$이므로$\displaystyle 3f^{\prime}(x)=f^{\prime}(3x)=0$이다.그러므로 (i), (ii)에 의하여, 임의의 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle 3f^{\prime}(x)=f^{\prime}(3x)$이다.