수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

오류 제보

숙명여대 2022학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2022mo/jayeon_1

배점미공개
예상 소요 시간미공개
다음 문제

문제

● 세 집합 X\displaystyle X, Y\displaystyle Y, Z\displaystyle Z에 대하여, 두 함수 f:X→Y, g:Y→Z\displaystyle f:X\to Y,\ g:Y\to Z의 합성함수는 g∘f:X→Z\displaystyle g\circ f:X\to Z이고, (g∘f)(x)=g(f(x))\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))와 같이 나타낼 수 있다.

● 세 함수 f\displaystyle f, g\displaystyle g, h\displaystyle h에 대하여, h∘(g∘f)=(h∘g)∘f\displaystyle h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f이다. 즉, 함수의 합성에서 결합법칙이 성립한다.

● 함수 f:X→Y\displaystyle f:X\to Y가 일대일대응일 때, 집합 Y\displaystyle Y의 각 원소 y\displaystyle y에 대하여 f(x)=y\displaystyle f(x)=y인 집합 X\displaystyle X의 원소 x\displaystyle x가 오직 하나 존재한다. 따라서 Y\displaystyle Y의 각 원소 y\displaystyle y에 f(x)=y\displaystyle f(x)=y인 집합 X\displaystyle X의 원소 x\displaystyle x를 대응시키면 Y\displaystyle Y를 정의역, X\displaystyle X를 공역으로 하는 새로운 함수를 정의할 수 있다. 이 함수를 f\displaystyle f의 역함수라고 하고, 이것을 기호로 f−1\displaystyle f^{-1}와 같이 나타낸다. 즉,f−1:Y→X, x=f−1(y)\displaystyle f^{-1}:Y\to X,\ x=f^{-1}(y)이다. 또한 이로부터 다음을 알 수 있다.(f−1∘f)(x)=f−1(f(x))=f−1(y)=x (x∈X),\displaystyle (f^{-1}\circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x\ (x\in X),(f∘f−1)(y)=f(f−1(y))=f(x)=y (y∈Y)\displaystyle (f\circ f^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=f(x)=y\ (y\in Y)즉, 합성함수 f−1∘f\displaystyle f^{-1}\circ f는 집합 X\displaystyle X에서의 항등함수이고, 합성함수 f∘f−1\displaystyle f\circ f^{-1}는 집합 Y\displaystyle Y에서의 항등함수이다.

제시문을 읽고 다음 문제에 답하시오.

1-1. 실수 전체에서 정의된 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 역함수가 존재하고,(f∘f∘f)(x)=(f∘f)(x)(1)\displaystyle (f\circ f\circ f)(x)=(f\circ f)(x)\qquad(1)일 때, f(5)\displaystyle f(5)의 값을 구하시오.

1-2. 실수 전체에서 정의된 두 함수 g(x),h(x)\displaystyle g(x),h(x)에 대하여 F(x)=g(x)+h(x)\displaystyle F(x)=g(x)+h(x)라 하자. 함수 F\displaystyle F의 역함수가 존재하고,(g∘F)(x)=h(x),(h∘F)(x)=g(x)(2)\displaystyle (g\circ F)(x)=h(x),\quad(h\circ F)(x)=g(x)\qquad(2)일 때, g(5)\displaystyle g(5)의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

숙명여대 2022학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2022mo/jayeon_1

■ 1-1.식 (1)에서 양변의 왼쪽에 f−1\displaystyle f^{-1}를 합성해 주면, f−1∘(f∘f∘f)(x)=f−1∘(f∘f)(x)\displaystyle f^{-1}\circ(f\circ f\circ f)(x)=f^{-1}\circ(f\circ f)(x)이고, 정리하면,(좌변)=f−1∘(f∘f∘f)(x)=(f−1∘f)((f∘f)(x))=(f∘f)(x),\displaystyle (\text{좌변})=f^{-1}\circ(f\circ f\circ f)(x)=(f^{-1}\circ f)((f\circ f)(x))=(f\circ f)(x),(우변)=f−1∘(f∘f)(x)=(f−1∘f)(f(x))=f(x)\displaystyle (\text{우변})=f^{-1}\circ(f\circ f)(x)=(f^{-1}\circ f)(f(x))=f(x)을 얻어 다음과 같이 쓸 수 있다. (f∘f)(x)=f(x)\displaystyle (f\circ f)(x)=f(x). 다시 한 번 양변의 왼쪽에 f−1\displaystyle f^{-1}를 합성해 주면, f−1∘(f∘f)(x)=(f−1∘f)(x)\displaystyle f^{-1}\circ(f\circ f)(x)=(f^{-1}\circ f)(x)이고, 정리하면, f(x)=x\displaystyle f(x)=x를 얻게 된다. f(x)\displaystyle f(x)는 일차함수이고 역함수가 존재한다. 따라서, f(5)=5\displaystyle f(5)=5임을 알 수 있다.

■ 1-2.주어진 두 식 (2)의 합을 구하면g(F(x))+h(F(x))=g(x)+h(x)(3)\displaystyle g(F(x))+h(F(x))=g(x)+h(x)\qquad(3)을 얻고, 이를 다시 쓰면,g(F(x))+h(F(x))=F(F(x))=(F∘F)(x)=F(x)\displaystyle g(F(x))+h(F(x))=F(F(x))=(F\circ F)(x)=F(x)임을 알 수 있다. 또한 F(x)\displaystyle F(x)의 역함수가 존재하므로, 문제 1-1의 풀이와 마찬가지로 양변의 왼쪽에 F−1\displaystyle F^{-1}를 합성해 주면, F−1∘(F∘F)(x)=(F−1∘F)(x)\displaystyle F^{-1}\circ(F\circ F)(x)=(F^{-1}\circ F)(x)이고, 정리하면, F(x)=x\displaystyle F(x)=x를 얻게 된다. 이를 식 (2)에 대입하면, g(x)=h(x)\displaystyle g(x)=h(x)임을 알 수 있다. F(x)=g(x)+h(x)=x\displaystyle F(x)=g(x)+h(x)=x이고, g(x)=h(x)\displaystyle g(x)=h(x)이므로, g(x)=h(x)=12x\displaystyle g(x)=h(x)=\frac12x임을 알 수 있다. 따라서 g(5)=52\displaystyle g(5)=\frac52임을 알 수 있다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.