자연계열 1번

■ 1-1.식 (1)에서 양변의 왼쪽에 $\displaystyle f^{-1}$를 합성해 주면, $\displaystyle f^{-1}\circ(f\circ f\circ f)(x)=f^{-1}\circ(f\circ f)(x)$이고, 정리하면,$\displaystyle (\text{좌변})=f^{-1}\circ(f\circ f\circ f)(x)=(f^{-1}\circ f)((f\circ f)(x))=(f\circ f)(x),$$\displaystyle (\text{우변})=f^{-1}\circ(f\circ f)(x)=(f^{-1}\circ f)(f(x))=f(x)$을 얻어 다음과 같이 쓸 수 있다. $\displaystyle (f\circ f)(x)=f(x)$. 다시 한 번 양변의 왼쪽에 $\displaystyle f^{-1}$를 합성해 주면, $\displaystyle f^{-1}\circ(f\circ f)(x)=(f^{-1}\circ f)(x)$이고, 정리하면, $\displaystyle f(x)=x$를 얻게 된다. $\displaystyle f(x)$는 일차함수이고 역함수가 존재한다. 따라서, $\displaystyle f(5)=5$임을 알 수 있다.

■ 1-2.주어진 두 식 (2)의 합을 구하면$\displaystyle g(F(x))+h(F(x))=g(x)+h(x)\qquad(3)$을 얻고, 이를 다시 쓰면,$\displaystyle g(F(x))+h(F(x))=F(F(x))=(F\circ F)(x)=F(x)$임을 알 수 있다. 또한 $\displaystyle F(x)$의 역함수가 존재하므로, 문제 1-1의 풀이와 마찬가지로 양변의 왼쪽에 $\displaystyle F^{-1}$를 합성해 주면, $\displaystyle F^{-1}\circ(F\circ F)(x)=(F^{-1}\circ F)(x)$이고, 정리하면, $\displaystyle F(x)=x$를 얻게 된다. 이를 식 (2)에 대입하면, $\displaystyle g(x)=h(x)$임을 알 수 있다. $\displaystyle F(x)=g(x)+h(x)=x$이고, $\displaystyle g(x)=h(x)$이므로, $\displaystyle g(x)=h(x)=\frac12x$임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle g(5)=\frac52$임을 알 수 있다.