자연계열 3번

■ 3-1.명제 $\displaystyle P(k)$가 참이라 하자.$\displaystyle x_1,x_2,\cdots,x_k,x_{k+1}$이 양수이고 $\displaystyle x_1x_2\cdots x_{k+1}=1$이라 할 때① $\displaystyle x_1=x_2=\cdots=x_{k+1}$이면 $\displaystyle x_1=x_2=\cdots=x_{k+1}=1$이고$\displaystyle x_1+x_2+\cdots+x_{k+1}=k+1$이다. 따라서 $\displaystyle x_1+x_2+\cdots+x_{k+1}\ge k+1$이 성립한다.

② $\displaystyle x_1,x_2,\cdots,x_{k+1}$이 모두 같지는 않다면 1보다 큰 $\displaystyle x_i$와 1보다 작은 $\displaystyle x_j$가 존재한다.실수의 곱은 교환법칙이 성립하므로 1보다 큰 $\displaystyle x_i$를 $\displaystyle x_1$이라 하고 1보다 작은 $\displaystyle x_j$를 $\displaystyle x_2$라 하면 $\displaystyle 1-x_1<0,\ 1-x_2>0$이다.$\displaystyle (1-x_1)(1-x_2)=1-x_1-x_2+x_1x_2<0$에서$\displaystyle 1+x_1x_2<x_1+x_2$이 성립한다.이 식을 이용하면$\displaystyle x_1+x_2+\cdots+x_{k+1}>1+x_1x_2+x_3+\cdots+x_{k+1}\quad\cdots\ (1)$이다.한편 $\displaystyle P(k)$가 참이고 $\displaystyle (x_1x_2)x_3\cdots x_{k+1}=1$이므로$\displaystyle x_1x_2+x_3+\cdots+x_{k+1}\ge k$이 성립한다.따라서 부등식 (1)에서$\displaystyle x_1+x_2+\cdots+x_{k+1}>1+x_1x_2+x_3+\cdots+x_{k+1}\ge k+1$을 얻는다.①, ②에서 $\displaystyle P(k)$가 참이면 $\displaystyle P(k+1)$도 참임을 알 수 있다.

■ 3-2.$\displaystyle n$개의 양수 $\displaystyle t_1,t_2,\cdots,t_n$에 대하여$\displaystyle x_1=\frac{t_1}{\sqrt[n]{t_1t_2\cdots t_n}},\ x_2=\frac{t_2}{\sqrt[n]{t_1t_2\cdots t_n}},\ \cdots,\ x_n=\frac{t_n}{\sqrt[n]{t_1t_2\cdots t_n}}$이라 하면 ‘$\displaystyle x_1,x_2,\cdots,x_n$도 양수이고 $\displaystyle x_1x_2\cdots x_n=1$이다.$\displaystyle P(n)$이 참이므로 $\displaystyle x_1+x_2+\cdots+x_n\ge n$이다.따라서 $\displaystyle x_i=\frac{t_i}{\sqrt[n]{t_1t_2\cdots t_n}}\ (i=1,\cdots,n)$를 위 식에 대입하면$\displaystyle \frac{t_1}{\sqrt[n]{t_1t_2\cdots t_n}}+\frac{t_2}{\sqrt[n]{t_1t_2\cdots t_n}}+\cdots+\frac{t_n}{\sqrt[n]{t_1t_2\cdots t_n}}=\frac{t_1+\cdots+t_n}{\sqrt[n]{t_1t_2\cdots t_n}}\ge n$이고 $\displaystyle \sqrt[n]{t_1t_2\cdots t_n}>0$이므로 양변에 $\displaystyle \sqrt[n]{t_1t_2\cdots t_n}$를 곱하면 부등식$\displaystyle \frac{t_1+t_2+\cdots+t_n}n\ge(t_1t_2\cdots t_n)^{1/n}$을 얻는다.